A study of localic subspaces, separation, and variants of normality and their duals

Abstract

Tal como na topologia clássica, também na topologia dos locales (reticulados locais) é frequente termos que nos restringir a locales que satisfaçam um certo grau de separação. De facto, o estudo de axiomas de separação na categoria dos locales constitui um aspecto não trivial e relevante da teoria. Por exemplo, em alguns casos é impossível termos a contrapartida exacta de um axioma clássico, enquanto noutros casos uma única propriedade para espaços topológicos produz, na categoria dos locales, diversas versões não equivalentes entre si. O objectivo principal desta tese é investigar várias classes de locales separados e suas conexões com diferentes classes de sublocales (os subobjetos regulares na categoria dos locales). Em particular, introduzimos uma nova propriedade de separação diagonal e mostramos que se trata, em certo sentido, de uma propriedade dual do axioma (forte) de Hausdorff introduzido por Isbell. As dualidades entre semi-reticulados e reticulados pré-locais, e entre normalidade e desconexão extrema, acabam por ter um papel relevante neste contexto. Relativamente a axiomas de separação fortes, introduzimos generalizações de normal- idade, em função de um cardinal arbitrário, e suas duais (por exemplo, propriedades envolvendo extensões de famílias disjuntas de elementos co-zero), e apresentamos caracteri- zações em termos de propriedades de inserção ou extensão de funções. O axioma TD, uma propriedade de separação muito fraca, também desempenha um papel importante nesta tese. Especificamente, investigamos a dualidade TD entre a categoria dos espaços topológicos TD e uma determinada subcategoria (não plena) da categoria dos locales, identificando os subobjetos regulares na subcategoria de locales, e apresentamos várias aplicações à topologia sem pontos.

As in classical topology, in localic topology one often needs to restrict to locales satisfying a certain degree of separation. In fact, the study of separation in the category of locales constitutes a non-trivial and important piece of the theory. For instance, it is sometimes impossible to give an exact counterpart of a classical axiom, while other times a single property for spaces yields multiple non-equivalent localic versions. The main goal of this thesis is to investigate several classes of separated locales and their connections with different classes of sublocales, that is, the regular subobjects in the category of locales. In particular, we introduce a new diagonal separation and show that it is, in a certain sense, dual to Isbell’s (strong) Hausdorff property. The duality between suplattices and preframes, and that between normality and extremal disconnectedness, turn out to be of special interest in this context. Regarding higher separation, we introduce cardinal generalizations of normality and their duals (e.g., properties concerning extensions of disjoint families of cozero elements), and give characterizations via suitable insertion or extension results. The lower separation property known as the TD-axiom, also plays an important role in the thesis. Namely, we investigate the TD-duality between the category of TD-spaces and a certain (non-full) subcategory of the category of locales, identifying the regular subobjects in the localic side, and provide several applications in point-free topology.

Tal y como ocurre en topología clásica, en topología locálica frecuentemente uno tiene que restringir su atención a locales que cumplen cierto grado de separación. De hecho, el estudio de la separación en la categoría de locales es un aspecto no trivial y relevante de la teoría. En algunos casos, es imposible dar una contrapartida exacta a un axioma clásico, mientras que en otros casos, una sola propiedad produce multitud de versiones locálicas no equivalentes entre sí. El principal objetivo de esta tesis es investigar varias clases de locales separados y sus relaciones con diferentes clases de sublocales, esto es, los subobjetos regulares en la categoría de locales. En particular, introducimos una nueva separación diagonal, y probamos que es, en cierto sentido, dual al axioma Hausdorff (fuerte) de Isbell. En este contexto, la dualidad entre retículos completos y premarcos, y aquella entre la normalidad y la desconexión extrema resultan ser de especial interés. En cuanto a la separación más fuerte, introducimos generalizaciones cardinales de la normalidad y sus duales (por ejemplo, propiedades que consisten en la extensión de familias disjuntas de elementos cozero), y damos caracterizaciones de las mismas en términos de teoremas de extensión o inserción. Ciertas propiedades de separación más débiles, especialmente el axioma TD, también desempeñan un papel importante en esta tesis. Específicamente, investigamos la dualidad TD entre la categoría de espacios topológicos TD y cierta subcategoría (no plena) de la categoría de locales, identificando los subobjetos regulares en la categoría de locales, y proporcionamos algunas aplicaciones en la topología sin puntos.

Topologia klasikoan gertatzen den antzera, topologia lokalikoan ohikoa da banantze-maila jakin bat duten lokaleetara murriztu behar izatea. Izan ere, banantzearen azterketa lokaleen kategorian aspektu ez-tribiala eta garrantzitsua da. Honela, batzuetan ezinezkoa da axioma klasiko baten analogo zehatza ematea eta beste batzuetan propietate bakar batek hainbat bertsio lokaliko ez-baliokide izan ditzake. Tesi honen helburu nagusia zenbait lokale bananduren klase ikertzea da, eta horien erlazioak aztertzea azpilokaleen klase desberdinekin, azken hauek lokaleen kategoriako azpiobjektu erregularak direlarik. Besteak beste, diagonal erako banantze mota berri bat aurkeztuko dugu, eta frogatuko dugu, neurri batean, Isbell-en Hausdorff axioma gogorraren duala dela. Testuinguru honetan, interes berezikoak dira erretikulu osoen eta aurremarkoen arteko dualtasuna, baita normaltasunaren eta muturreko ez-konexutasunaren artekoa ere. Banantze-propietate gogorrenei dagokienez, normaltasunaren orokortze kardinalak eta beraien dualak aztertuko ditugu (esate baterako, kozero familia disjuntuen hedatze- propietateak), eta hedatze- edo txertatze-teoremen bidez hauen karakterizazioak emango ditugu. Banantze-propietate ahulei, eta bereziki TD-axiomari, ere arreta jarriko diegu. Esaterako, TD-espazio topologikoen kategoriaren eta lokaleen kategoriaren azpikategoria (ez-oso) jakin baten arteko TD-dualtasuna ikertuko dugu, bide batez lokaleen azpikategoria horretako azpiobjektu erregularrak identifikatuz, eta hainbat aplikazio aztertuko ditugu punturik gabeko topologian.