Δυναμική ρητών επαναληπτικών μεθόδων και μορφοκλασματικές συναρτήσεις: αλγοριθμική κατασκευή και γραφική αναπαράστασή τους με υπολογιστή

Abstract

ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΕΝΤΑΣΣΕΤΑΙ ΣΤΗ ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΩΝ ΜΟΡΦΟΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ (FRACTALS) ΚΑΙ ΤΗΣ ΧΑΟΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ. Η ΚΥΡΙΑ ΣΥΝΕΙΣΦΟΡΑ ΤΗΣ ΣΥΝΙΣΤΑΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΑΙ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΡΦΟΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝΑΠΟ ΡΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ, ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΟΡΦΟΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΕΙΚΟΝΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΑΠΟ ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΣΤΟΧΟΣ ΤΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ Η ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΟΣΟ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΕΣΩ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΤΩΝ ΠΡΟΑΝΑΦΕΡΘΕΝΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. ΣΤΑ ΤΡΙΑ ΠΡΩΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΔΙΝΟΥΜΕ ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΚΟΝΑ ΤΗΣ ΥΠΑΡΧΟΥΣΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΣΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ ΛΕΠΤΟΜΕΡΩΣ, ΤΟΣΟ ΣΕ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥΣ ΟΣΟ ΚΑΙ ΣΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ, ΤΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ SCHRODER, KONIG ΚΑΙ LAGUERRE. ΑΡΧΙΚΩΣ ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ ΤΑ ΣΥΝΟΛΑ JULIA ΤΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΥΤΩΝ, ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΗΚΑΝ ΝΑ ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΝ ΠΡΟΣ ΤΙΣ N-ΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΟΥΜΕ ΤΙΣ ΛΕΚΑΝΕΣ ΕΛΞΗΣ ΑΥΤΩΝ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ. ΕΠΙΣΗΣ ΔΕΙΧΝΟΥΜΕ ΟΤΙ ΣΥΝΟΛΑ JULIA ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ LAGUERRE ΕΙΝΑΙ ΜΟΡΦΟΚΛΑΣΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΟ ΓΙΑ N>4. ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΟΥΜΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ, ΩΣΤΕ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΝΤΑΙ ΕΠΑΓΩΓΙΚΩΣ ΟΙ ΟΡΟΙ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ SCHRODER ΚΑΙ KONIG. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΟΥΜΕ ΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΠΟΔΟΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ SCHRODER ΠΟΥ ΣΧΕΤΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΗ ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΚΥΒΙΚΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΟΝΤΑΣ ΜΙΑ ΝΕΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΑΝΑΦΕΡΘΕΙΣΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ. ΕΠΙΣΗΣ, ΜΕΛΕΤΟΥΜΕ ΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΕΦΑΡΜΟΖΟΜΕΝΩΝ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΗ ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΚΥΒΙΚΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ, ΑΠΕΙΚΟΝΗΣΕΩΝ SCHRODER ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΑ ΕΩΣ ΔΕΚΑ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΕΙΚΟΝΗΣΕΩΝ(ΠΕΡΙΚΟΠΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗΣ)

THE SUBJECT OF THIS DISSERTATION BELONGS TO THE FIELD OF KNOWLEDGE OF FRACTALS AND CHAOTIC DYNAMICS. ITS MAIN CONTRIBUTION IS IN THE CONSTRUCTION AND STUDY OF FRACTAL SETS WHICH APPEAR FROM RATIONAL ITERATION FUNCTIONS AS WELL AS OF FRACTAL MAPPINGS AND CURVES WHICH APPEAR FROM ITERATED FUNCTION SYSTEMS. ITS GOAL IS BOTH THE THEORETICAL STUDY AND THE COMPUTER GRAPHICS REPRESENTATION OF THE ABOVE MENTIONED CONSTRUCTIONS. IN THE FIRST THREE CHAPTERS WE SIMPLY PRESENT THE EXISTING THEORY OF COMPLEX ANALYTIC DYNAMICAL SYSTEMS. IN THE FOURTH CHAPTER, WE MAKE A PROFOUNDER STUDY OF SCHRODER, KONIG AND LAGUERRE ITERATION METHODS IN BOTH THE DYNAMIC AND PARAMETER SPACES. WE FIRST EXAMINE THE JULIA SETS OF THESE METHODS WHICH ARE CONSTRUCTED TO CONVERGE TO THE NTH ROOTS OF UNITY AND, SUBSEQUENTLY, THESE ROOT'S BASINS OF ATTRACTION. WE ALSO SHOW THAT THEJULIA SETS OF THE LAGUERRE FUNCTION ARE FRACTALS ONLY FOR N>4. THEN, WE PRESENT A NEW ALGORITHMIC CONSTRUCTION TO COMPUTE INDUCTIVELY ALL OF THE SCHRODER AND KONIG FUNCTIONS' TERMS; BY THE SAME CONSTRUCTION WE MAXIMIZE THE COMPUTATIONAL EFFICIENCY OF THESE FUNCTIONS WITH A ONE-PARAMETER FAMILY OF CUBIC POLYNOMIALS. WE EXAMINE ALSO THE ORBITS OF ALL FREE CRITICAL POINTS OF THE SCHRODER AND KONIG FUNCTIONS AS APPLIED TO THE ONE-PARAMETER FAMILY OF CUBIC POLYNOMIALSABOVE. AS FAR AS THE DYNAMICS OF THE LAGUERRE FUNCTION IN THE COMPLEX PLANE IS CONCERNED, WE DEMONSTRATE AND GRAPHICALLY VERIFY THE NON-EXISTENCE OF ATTRACTING CYCLES WHICH TRAP AN SEQUENCE ASSOCIATED WITH THE ONE-PARAMETER (ABSTRACT TRUNCATED).