Αυτόματα και σειριακές μηχανές στη μουσική

Abstract

The present thesis is a contribution to the computability of musical languages and musical functions by means of automata and sequential machines. It is composed of four chapters. In the first chapter basic notions of music are introduced in a formal way and we show that the diatonic monoid MD in the discrete real musical world is related with the corresponding monoid Md of the mod12 musical world with the isomorphism Md MD/~B , where ~B is the congruence induced by the Babbitt morphism. In the next chapter we construct the minimal automaton recognizing the language of all monophonic sequences which can be analyzed in the meter ¾. Moreover, an algorithm is provided, which permits the construction of the minimal automaton computing all monophonic melodies admitting a decomposition into an arbitrary meter α/β , given that 1/2k is the considered minimum duration. Classical contours i.e. up and down moves of various musical parameters are examined in the third chapter. We construct the minimal weighted automata computing the functions A,D,E, SA which count the number of ascending, descending, horizontal and semitone ascending moves in a musical string. Furthermore, we indicate how other music processes such as pitch spelling and segmentation procedures with respect to the rules GPR3a) and GPR2a) (Lerdahl and Jackendoff) can fit in the above setup. Polansky’s general combinatorial form (resp. Honingh’s compactness function) is obtained by summing up all the entries above the principal diagonal of the contour matrix (resp. the sum of all entries of the contour matrix) and their minimal weighted automata are explicitly constructed. In the last chapter we investigate sequential machines in music which constitute the simplest machine model computing functions assigning strings from an input musical alphabet to strings of an output musical alphabet. More precisely we construct the minimal sequential machines computing the following functions: Schoenberg’s elementary transformations, the classical contour function (which to any musical string w corresponds the string of 1s, -1s or 0s whenever w moves upwards, downwards or in the same level, with respect to a certain musical parameter) as well as its refinements, the Morris maxima and minima functions and the function which to any monophonic melody associates its largest initial segment that may be written in a specified meter α/β.

Η παρούσα διατριβή αποτελεί συνεισφορά στην αναγνωρισιμότητα (υπολογισιμότητα) μουσικών γλωσσών και μουσικών συναρτήσεων μέσω αυτομάτων και σειριακών μηχανών. Αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο βασικές έννοιες της μουσικής εισάγονται με αξιωματικό τρόπο και αποδεικνύεται ότι το διατονικό μονοειδές ΜD στον πραγματικό διακριτό μουσικό κόσμο συνδέεται με το αντίστοιχο μονοειδές Μd στον mod12 μουσικό κόσμο με τον ισομορφισμό Μd ≈ MD /~B , όπου ~Β είναι η ισοδυναμία η επαγόμενη από τον μορφισμό Babbitt. Στο δεύτερο κεφάλαιο κατασκευάζουμε το ελάχιστο αυτόματο που αναγνωρίζει όλες τις μονόφωνες μελωδίες που αναλύονται στο μέτρο ¾ . Διατυπώνεται ένας αλγόριθμος με την βοήθεια του οποίου μπορούμε να κατασκευάσουμε το ελάχιστο αυτόματο που αναγνωρίζει όλες τις μονόφωνες μελωδίες που αναλύονται σε ένα οποιοδήποτε μέτρο α/β όταν η ελάχιστη αξία είναι 1/2κ . Κλασικά περιγράμματα δηλ. ανοδικές και καθοδικές κινήσεις διαφόρων μουσικών παραμέτρων εξετάζονται στο τρίτο κεφάλαιο. Κατασκευάζονται τα ελάχιστα αυτόματα με βάρη που υπολογίζουν τις συναρτήσεις A, D, E, SA που μετρούν τις ανοδικές , καθοδικές , οριζόντιες και ημιτονικά ανοδικές κινήσεις σε μία μουσική λέξη. Περαιτέρω δείχνουμε πως οι συναρτήσεις που προκύπτουν από τις μουσικές διεργασίες του ορθού συλλαβισμού μουσικών λέξεων ως προς ένα σύστημα ποινής καθώς και του διαχωρισμού μουσικών λέξεων κατά τους κανόνες GPR3a) και GPR2a) των Lerdahl και Jackendoff μπορούν να εξεταστούν στο πλαίσιο αυτό. Η γενική συνδυαστική μορφή του Polansky (αντ. η συνάρτηση συμπαγότητας της Honingh) προκύπτει προσθέτοντας όλα τα στοιχεία του πίνακα περιγράμματος που βρίσκονται πάνω από την κύρια διαγώνιό του (αντ. όλα τα στοιχεία του πίνακα περιγράμματος). Των μουσικών αυτών συναρτήσεων κατασκευάζονται επίσης τα αντίστοιχα ελάχιστα αυτόματα με βάρη που τις υπολογίζουν. Στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζονται σειριακές μηχανές στη Μουσική. Οι σειριακές μηχανές αποτελούν το απλούστερο μοντέλο μηχανών με είσοδο λέξεις από ένα αλφάβητο και έξοδο λέξεις από ένα άλλο αλφάβητο. Οι συναρτήσεις που υπολογίζουν ονομάζονται σειριακές συναρτήσεις και έχουν την θεμελιώδη ιδιότητα να διατηρούν αρχικά τμήματα λέξεων. Στο κεφάλαιο αυτό κατασκευάζουμε τις ελάχιστες σειριακές μηχανές που υπολογίζουν τις ακόλουθες συναρτήσεις: τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς του Schoenberg, την κλασική συνάρτηση περιγράμματος που σε κάθε μουσική λέξη αντιστοιχεί την λέξη που σχηματίζεται από 1δες, -1δες και 0νικά ανάλογα με το αν το μουσικό κύμα κινείται ανοδικά, καθοδικά ή οριζόντια (όπως και τις εκλεπτύνσεις του παραπάνω περιγράμματος), τις συναρτήσεις maxima και minima κατά Morris, την συνάρτηση η οποία σε κάθε μονόφωνη μελωδία αντιστοιχεί το μέγιστο αριστερό τμήμα της που αναλύεται σε δεδομένο μέτρο α/β . Γενικευμένες σειριακές μηχανές με έξοδο ένα απλοποιήσιμο μονοειδές εισάγονται και μελετώνται στο πλαίσιο αυτό.