Soluções fundamentais dos operadores discretos de Laplace e Dirac

Abstract

A presente dissertação tem por objectivo a construção de soluções fundamentais discretas para os operadores discretos de Laplace e de Dirac. No primeiro capítulo discutiremos alguns aspectos básicos da discretização de funções, respectivos domínios e representação discretas das suas derivadas parciais. Esta representação dependerá do ponto do domínio em que nos encontrarmos e do tipo de aproximação efectuada, como veremos. No segundo capítulo relembraremos a transformada de Fourier contínua e suas propriedades, para em seguida, introduzirmos a transformada de Fourier discreta e suas propriedades e teoremas mais relevantes. Finalmente, no último capítulo serão definidos os operadores de Laplace e Dirac, nos casos contínuo e discreto, bem como algumas das suas propriedades que ajudarão na construção das soluções fundamentais para os equivalentes discretos destes operadores.

The purpose of the present dissertation is the construction of discrete fundamental solutions for the Laplace and Dirac discrete operators. In the first chapter, we will discuss some basic aspects of discretization of functions, their domains and the discrete representation of their partial derivatives. These representations will depend on the localization of the point of the domain and the approximation type, as we will see. In second chapter we will remember the continuous Fourier transform and its properties so that afterwards we can introduce the discrete Fourier transform, its properties and relevant theorems. Finally, in the last chapter we will define the Laplace and Dirac operators in continuous and discrete case, as well as we will give some of their properties that will help in the construction of the fundamental solutions to the equivalent discrete of these operators.