Â
In thisthesis,wediscusstheapproximationofthefirstandpuresecondorderderiva-
tivesforthesolutionoftheDirichletproblemforLaplace’sequationonarectangular
domain andinarectangularparallelepiped.Inthecasewhenthedomainisarectangle,
the boundaryvaluesonthesidesoftherectanglearesupposedtohavesixthderivatives
satisfying theHöldercondition.Onthevertices,besidesthecontinuity,thecompat-
ibility conditions,whichresultfromtheLaplaceequation,forthesecondandfourth
derivativesoftheboundaryfunctions,givenontheadjacentsides,arealsosatisfied.
Under theseconditionsauniformapproximationoforder O
����
h4
(h is thegridsize),is
obtained forthesolutionoftheDirichletproblemonasquaregrid,itsfirstandpure
second derivatives,byasimpledifferenceschemes.
In thecasearectangularparallelepiped,weproposeandjustifydifferenceschemes
for thefirstandpuresecondderivativesapproximationofthesolutionoftheDirichlet
problem for3DLaplace’sequtation.Theboundaryvaluesonthefacesoftheparal-
lelepiped areassumedtohavethesixthderivativessatisfyingtheHöldercondition.
Theyarecontinuousontheedges,andtheirsecondandfourthorderderivativessatisfy
the compatibilityconditionswhichresultsfromtheLaplaceequation.Itisprovedthat
the solutionsoftheproposeddifferenceschemesconvergeuniformlyonthecubicgrid
with order O(h4), where h is thegridstep.Forbothcasesnumericalexperimentsare
demonstrated tosupporttheanalysismade.
Keywords: Finite differencemethod,approximationofderivatives,uniformerror,
Laplace equation.
Â
ÖZ :
Bu tezde,LaplaceDenkleminindikdörtgenselbölgedevedikdörtgenlerprizmasıüz-
erinde Dirichletproblemininçözümüiçinbirincimertebedenvepürikincimertebeden
türevlerininyakla¸sımıtartı¸sılır.Tanımbölgesinindikdörtgenoldu˘gu durumdadikdört-
genin kenarlarındaverilensınırfonksiyonlarınınaltıncıtürevlerininHölder¸sartını
sa˘gladıkları kabuledildi.Kö¸selerdesüreklilik¸sartınınyanındaLaplacedenkleminden
sonuçlanan kö¸selerinkom¸sukenarlarındaverilensınırde˘ger fonksiyonlarınınikinci
vedördüncütürevleriicinuyumluluk¸sartlarıdasa˘glandı. Bu¸sartlaraltındaDirich-
let problemininkareızgaraüzerindeçözümüiçinveçözümünbirincivepürikinci
türevleriiçin O(h4) (h adım uzunlu˘gu) düzgünyakla¸sımısadebirfark¸semasıileelde
edildi.
˙Ikinci durumdatanımbölgesidikdörtgenlerprizmasıoldu˘gunda Laplacedenkleminin
Dirichlet problemininçözümününbirincivepürikincitürevlerininyakla¸sımıiçinfark
¸semalarıönerilirvesa˘glanır.Prizmanınyüzeylerindeverilensınırde˘gerlerinin altıncı
türevlerininHölderko¸sulunusa˘gladı˘gı kabuledildi.Kö¸selerdesüreklidirlerveonların
ikinci vedördüncümertebedentürevleriLaplacedenklemlerindensonuçlananuyum-
luluk ko¸sulunusa˘glar.Önerilenfark¸semalarınınçözümününküpızgaralarüzerindeh
ızgarauzunlu˘gu oldu˘gunda O(h4) mertebesinden düzgünyakınsadı˘gı ispatlandı.Her
iki durumiçinsayısalörnekleryapılananalizleridesteklemekiçinverildi.
Anahtar Kelimeler: Sonlu farkmetodu,türevlerinyaklasımı,düzgünhata,Laplace
denklemi.
Â