Axiomatique de Mackey-Maczynski de la mécanique quantique et théorème de Gleason
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Publication date
1990Author(s)
Houde, François
Subject
Théorie quantiqueAbstract
Dans ce mémoire nous revenons au problème fondamentale de la théorie quantique, à savoir: Quelles sont les exigences naturelles permettant de déduire que: 1) Les états d'un système physique peuvent être représentés par des opérateurs de densité, et que, 2) Les quantités physiques mesurables, que nous appellerons dorénavant observables, peuvent être représentées par des opérateurs auto-adjoints sur un espace d'Hilbert complexe? Une approche bien connue de ce problème due à Birkhoff et von Neumann[3], a été poursuivie par Mackey, Zierler, Piron, MacLaren, Jauch, Varadarajan, Maczynski, Guz, et plusieurs autres. Cette approche axiomatique des fondements de la mécanique quantique affirme que chaque système physique possède un certain ensemble ordonné orthomodulaire appelé logique du système, dont les éléments peuvent être identifiés avec les propositions vérifiables expérimentalement sur le système. Ici, nous allons présenter une axiomatique basée sur celles de Mackey et Maczynski, que nous appellerons d'ailleurs axiomatique de Mackey-Maczynski. Nous allons montrer que dans cette axiomatique les états d'un système physique correspondent aux opérateurs de densité sur un certain espace d'Hilbert H, et que les observables peuvent être identifiées avec les opérateurs auto-adjoints non nécessairement bornés sur H, rejoignant ainsi la formulation de la mécanique quantique non relativiste dans les espaces d'Hilbert telle qu'acceptée par la plupart des physiciens aujourd'hui et due surtout à von Neumann(voir [7], section 8.3). Le chapitre 0 contient surtout les notions sur les espaces d'Hilbert dont nous aurons besoin par la suite. Le chapitre 1 donne la définition d'ensemble ordonné orthomodulaire et montre plusieurs propriétés de ces ensembles, en plus de donner quelques exemples de tels ensembles. Nous montrerons plus particulièrement que si H est un espace d'Hilbert alors L(H), l'ensemble des sous espaces fermés de H est un treillis orthomodulaire ơ-ortho- complet. Dans le chapitre 2 nous allons donner l'axiomatique de MackeyMaczynski, et nous montrerons à l'aide du théorème de Gleason qu'il y a une correspondance bijective entre les états(de cette axiomatique) d'un système physique et les opérateurs de densité sur l'espace d'Hilbert H associé au système physique, et que les observables correspondent une à une aux opérateurs auto-adjoints non nécessairement bornés sur H. Finalement, au chapitre 3 nous allons donner une démonstration du théorème de Gleason qui est différente de la démonstration originale, et qui a été élaborée par Cooke, Keane et Moran[4] en 1984.
Collection
- Sciences – Mémoires [1807]