Difusão caótica em bilhares dependentes do tempo
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Data
2021-12-17
Autores
Fonseca, Anne Kétri Pasquinelli da
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Editor
Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Resumo
Neste trabalho estudamos as propriedades dinâmicas de um bilhar clássico com fronteira dependente do tempo. A conjectura Loskutov-Ryabov-Akhinshin (LRA) diz que se um bilhar exibe componentes caóticas em sua dinâmica com fronteira fixa, tal componente é condição suficiente para observar aceleração de Fermi (crescimento ilimitado de energia devido a colisões com fronteiras móveis) quando uma perturbação temporal na fronteira é introduzida. É conhecido também que a introdução de colisões inelásticas das partículas com a fronteira criam atratores no espaço de fases violando assim o teorema de Liouville e suprimindo o crescimento ilimitado de energia. Nessa transição de crescimento limitado para ilimitado de energia, o conjunto de partículas apresenta velocidade quadrática média que é descrita por uma função homogênea generalizada exibindo um conjunto de expoentes críticos que descrevem a dinâmica próximo à criticalidade. Resultados recentes na literatura permitem descrever a dinâmica caótica das partículas a partir do conhecimento da probabilidade de se observar uma partícula com uma dada velocidade em um determinado instante. Essa probabilidade é obtida a partir da solução da equação da difusão impondo condições de contorno específicas assim como condições iniciais. Neste trabalho determinamos a expressão da probabilidade a partir da equação da difusão e, a partir dela, encontramos todos os observáveis da distribuição, recuperando assim os expoentes críticos que são conhecidos na literatura. Esse procedimento é original para esse tipo de sistema e permite uma extensão do formalismo proposto para o mapa padrão dissipativo para sistemas do tipo bilhares.
In this work we investigate the dynamical properties of a classical billiard with time dependent boundary. The Loskutov-Ryabov-Akhinshin (LRA) conjecture claims that if a billiard exhibits chaotic components in the dynamics with the fixed boundary, such a component is a sufficient condition to produce Fermi acceleration (unlimited energy growth) when a time perturbation to the boundary is introduced. It is known that the introduction of inelastic collision of the particle with the boundary creates attractors in the phase space violating the Liouville's theorem hence suppressing the Fermi acceleration. In such a transition of limited to unlimited energy growth, a set of particle shows that the mean squared velocity is described by an homogeneous and generalized function exhibiting a set of critical exponent that describes the dynamics near the criticality. Recent results in the literature allow one to describe the chaotic dynamics of the particles from the probability to observe a particle with a given velocity at a certain time. Such a probability is obtained from the solution of the diffusion equation imposing specific boundary and initial conditions. In this work we obtain the expression of the probability from the diffusion equation and from it obtain all the observables of the dynamics recovering the critical exponents known from the literature. This procedure is original for such a type of system and allows an immediate extension of the formalism proposed for the standard dissipative mapping for the billiard systems.
In this work we investigate the dynamical properties of a classical billiard with time dependent boundary. The Loskutov-Ryabov-Akhinshin (LRA) conjecture claims that if a billiard exhibits chaotic components in the dynamics with the fixed boundary, such a component is a sufficient condition to produce Fermi acceleration (unlimited energy growth) when a time perturbation to the boundary is introduced. It is known that the introduction of inelastic collision of the particle with the boundary creates attractors in the phase space violating the Liouville's theorem hence suppressing the Fermi acceleration. In such a transition of limited to unlimited energy growth, a set of particle shows that the mean squared velocity is described by an homogeneous and generalized function exhibiting a set of critical exponent that describes the dynamics near the criticality. Recent results in the literature allow one to describe the chaotic dynamics of the particles from the probability to observe a particle with a given velocity at a certain time. Such a probability is obtained from the solution of the diffusion equation imposing specific boundary and initial conditions. In this work we obtain the expression of the probability from the diffusion equation and from it obtain all the observables of the dynamics recovering the critical exponents known from the literature. This procedure is original for such a type of system and allows an immediate extension of the formalism proposed for the standard dissipative mapping for the billiard systems.
Descrição
Palavras-chave
Física, Comportamento caótico nos sistemas, Transformações de fase (Física estatística), Caos, Transições de fase, Leis de escala, Equação da difusão, Sistemas bilhares, Chaos, Phase transitions, Scaling laws, Diffusion equation, Billiard systems