Çok Etmenli Sistemlerin Kontrolü

Abstract

Günümüzde, çok etmenli sistemler bilimsel araştırmalardan endüstriyel uygulamalara kadar birçok alanda kullanılmaktadır. Cep telefonları, robotlar, çoklu sensör sistemleri ve insansız araçlar endüstriyel alanda kullanılan çok etmenli sistemlerden sadece birkaçıdır. Örneğin, bir kablosuz algılayıcı ağı belirli bir çevrede ses, titreşim ve basınç gibi fiziksel özellikleri kaydeden bir ağdır. Bu sensörler, fiziksel veya çevresel değişkenlerle uygun bir tahmine ulaşmak için birbirleri ile temas halindedirler. Günümüzde; büyük ölçekli enerji sistemleri, dağıtım ağını kullanarak kullanıcılara enerji kaynaklarından mekanik ve elektrik enerjisi teslim etmektedir. Daha verimli üretim ve enerji dağıtımı yapabilmek için, akıllı şebekeler ve ağ mimarileri bu alanlarda önemli roller oynamaktadır. Çok-etmenli sistemlerin konsensüs çalışması yeni bir alan olmasına rağmen; matematik, elektrik, bilgisayar ve makine mühendisliği gibi farklı alanlarda da üzerinde yoğun bilimsel çalışmalar yapılmaktadır. Çok etmenli sistemlerin Konsensus çalışması bir ağdaki tüm ajanların belirli bir değerde anlaşmaya vardıkları anlamına gelir. Bu değere ulaşılması için bir ağın tüm ajanlarının özel bir protokolu takip etmeleri gerekmektedir. Bu tezde çok etmenli sistemlerin uzlaşma noktasına varmaları için kullanılan yöntemler farklı açılardan incelenmiştir. Birden fazla otonom araçların kooperatif kontrolü hem teorik anlamda ve hemde pratikte çok kompleks ve aynı anda uzun bir süreçtir. Önce, tek bir sistem kullanmak yerine asıl sistemden bir alt sistem oluşturmalıdır. İkinci olarak, sistemin bant genişliği her zaman sınırlıdır ve araçlar arasındaki bilgi değişimi her zaman güvenli olmayabilir. Hangi araçala ne zaman hangi bilgiyi paylaşmakta çok zor ve kritik bir karardır. Üçüncü olarak, takım hedefleri ve bireysel hedefleri arasında bir ortak nokta bulunmalıdır. Çok etmenli sistemlerde, ışbirliği için gerekli bilgiler çeşitli şekillerde paylaşılabilir. bağıl konum sensörleri durum bilgilerini araçlara iletebilirler, bilgi Bir kablosuz ağ uzerinden araçlara gidebilir, ya da sistemin misyonu başlamadan önce bilgiler araçlar üzerine programlanmış olabilir. Bir aksiyomu altında, bilgi alışverişi kooperatif kontrol sistemlerinde bir sorun haline gelir. Farz edelim ki, bir çok etmenli bir sistemde araçlar bir ağ uzerinden birbirleriyle iletişim halindeler. Işbirliği, her üyenin diğer üyelerin koordinasyon bilgilerine istedikleri zaman erişebildikleri halinde oluşabilir. Ancak, güvenli iletişim protokolu olmayan bir sistemde veya iletişim topolojisi değişen sistemlerde her araç istediği zaman diğer araçların koordinasyon bilgilerine erişemiyebilir. Bu durumda, farklı bir bilgi dağıtım algoritması kullanmak zorunda. Bir örnek olarak, bir akşam yemeği buluşmasını ele alalım. Bu problemde, bir arkadaş grubu bir restoranda buluşmaları gerekiyor, ancak herkes fraklı bir saata gelmek istiyor. Bunun için, internet uzerinden görüntülü konuşup ve karar vermek istemişler. Bu durumda ilk olarak herkesin internete erişe bilmesi gerekiyor ve ikinci olarak buluşmak için bir saat belirlenmesi gerekiyor. Bu örnekte koordinasyon değişkeni grupun buluşma zamandır. Zamanın tam kaç olduğundan ziyade her kişinin bu bilginin anlaması, sürekli erişimi ve diğer üyelerle paylaşması onemlidir. İkinci aşamada, her üye kendine uygun olduğu zamanı başka üyelerle paylaşıp ve daha sonra ortak bir buluşma zamanı bulabilmek için kendine uygun olduğu zamanı arkadaşlarının uygun zamanlarına yakın seçmeye çalışır. kooperatif kontrol stratejileri etkili olabilmesi için, araçların bir takım beklenmeyen durumlara veya değişikliklere cevap verebilmeleri gerekiyor. Bazı durumlarda çok etmenli sistemin üyeleri çevresel değişmeleri kabullanıp ve kendilerine ona adapta etmeye çalışıyor. Diğer taraftan, bazı durumlarda üyeler kendi durumlarını korumaları gerekiyor. Çok etmenli sistemlerde en kritik soru kooperatif kontrol algoritmaların belirlenmesidir. Bu algoritmalar, çok etmenli sistemlerin üyeleri ne zaman değişen durumlarla adapte olmak veya ne zaman kendi durumlarını korumaları belirler. Bir çok etmenli sistemin kontrolunda, her zaman konum değil bazen üyelerin hız bilgileride onemli oluyor. Butur sistemlere ikinci integrator sistemi denir. Çok-etmenli sistemlerin konsensüs protokolünde graf ve matris teorileri önemli rol oynamaktadır. Bu tezin ilk bölümünde graf teorisi ve çeşitli graf turleri incelenmiş ve sonrasında graf ve matris teorileri kullanılarak bir grafın Laplasyen matrisinin nasıl hesaplandığı gösterilmiştir. Her bir çok-etmenli sistem, bir graf uzerinde gösterilebilir; bu durumda graf uzerinde her bir düğüm çok etmenli sistemin bir etmenine karşılık gelir ve bu, düğümler arasındaki bağlantılarda; çok etmenli bir sistemde, etmenler arasındaki haberleşmeyi göstermektedir. Son bölümde ise hangi grafların çok etmenli sistemlerin yakınsaması için uygun olduğu araştırılmıştır. Önceki bölümde çok etmenli sistemlerin uzlaşması için temel protokol araştırılmıştır. Bu aşamada Lyapunov fonksiyonu Laplasyen matrisi kullanılarak çok-etmenli sistemlerinin yakınsaması için önerilen protokol incelenmiştir. Diğer taraftan normal ve zaman gecikmesi olan çok etmenli sistemlerin yakınsama hızının Laplasyen matrisinin özdeğerlerine olan etkisi araştırılmıştır. Bu araştırmada hem sürekli hem de ayrık zamanlı sistemler incelenmiştir. İlk olarak Laplasyen matrisi kullanılarak, bir çok- etmenli sistemde, etmenlerin hangi noktaya hareket ettiği ve yakınsamaları araştırılmıştır. Bu aşamada çok etmenli sistemlerin yakınsama hızında Laplasyen matrisinin ikinci özdeğerinin ne kadar onemli olduğu fark edilmiştir. Bu incelemede verilen grafın ayna halinden yola çıkılarak; Laplasyen matrisinin ikinci özdeğerinin çok etmenli sistemlerin yakınsama hızıyla doğru orantıda olduğu ispatlanmıştır. Gerçek bir uygulamada etmenler arasında zaman gecikmeli haberleşme kaçırılmazdır, dolayisiyla bir çok-etmenli sistemin ne kadar zaman gecikmesine dayanıklı olduğu araştırılmıştır. Bu araştırma sırasında, Laplasyen matrısınin en büyük özdeğerinin bir çok-etmenli sistemin zaman gecikmesiyle ters orantılı olduğu meydana çıkmış ve ispatlanmıştır. Sonrasında ayrık zamanlı çok etmenli sistemler için iki farklı yöntem incelenmiş ve simülasyonları yapılmıştır. Yapilan simülasyonlar uzerinden hangi yöntemin daha iyi olduğu anlaşılmıştır. Önceki bölümde olduğu gibi, çok etmenli sistemlerde Laplasyen matrisi kullanılarak sistem her zaman ilk değerin ortalamasına yakınsanmaktadır ama bazı durumlarda sistemin bir referansı takıp etmesi istenir. Bu bölümde çok etmenli sistemlerin referans takıbı incelenmiştir. Referans takıbı için genel olarak iki yöntem kullanılmaktadır. Ilk olarak sistemin bir liderinin olması gerekir, bu lider graf uzerindeki gerçek düğümlerden veya ikinci bir yöntem olarak sanal bir liderden olabilir. Bu tezde tüm liderlerin sanal lider oldukları varsayılmıştır. Ilk olarak matris ve graf teorileri kullanılarak, çok etmenli sistemin sabit ve zamanla değişmeyen referansı uzerinde araştırma yapılmıştır. Bu durumda etmenlerin sadece lider konumunu takip etmeleri istenmiştir. Daha sonra çok-etmenli sistem, zamanla değişen referanslarda incelenmiş ve simülasyonları yapılmıştır. Bu bolumun ikinci kısmında çok katmanlı sistemin elemanlarının sadece liderin konumunu değil hızını da takıp etmeleri incelenmiştir. Bu aşamada iki protokol ortaya çıkmış, ikinci protokol sistemin daha hızlı bir şekilde lideri takip etmesini sağlamıştır. Önceki bolümlerde, çok etmenli sistemlerde eğer iki üye arasında bilgi alişvbrışı varsa o bağlantının ağırlığı bir aksi taktirde sıfır olarak farz edilmiş. Tezi bu kısmında bir lider takip sisteminin daha hızlı haraket etmesi için yeni bir ağırlık seçim yöntemi önerilmiştir. Ilk adımda, bağlantılar uzerinde olan ağırlıklar normalize edilmiş. Bir düğüme bağlı olan tüm bağlantıların ağırlıkları toplamı bir alınmış. Mesela eğer bir düğümün üzerinde iki bağlantı varsa her bağlantının ağırlığı 0.5 alınmıştır. Daha sonra düğümlerden gelen bilgilere liderden uzaklığına göre onem verilmiş. Düğümler ne kadar liderden uzaklaşırsalar onlardan gelen bilgilerde onem kaybeder. Daha sonra liderden uzak olan düğümlerin bilgileri tamamen göz arda edilmiş. Son olarak bu yöntemi üç farklı topolojiye uygulanmış ve simülasyon sonuçları alınmıştır. Her üç topolojidece üçüncü yöntemin daha iyi olduğu meydana çıkmıştır. Daha sonra elde edilen ağırlık matrislerinin özdeğerleri hesaplanmış. Tüm matrislerde ilk özdeğer sıfır ve diğer özdeğerler sıfırdan buyuk olduğu meydana çıkmış. Ayrıca tüm matrislerde özdeğerlerin toplami matris boyutuna eşit olduğu gösterilmiş. Dolayisiyla üçüncü matris bir lider takipçi sistemi için en hızlı matris olduğu ispatlanmıştır. Kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik kontrol sistemi mühendisliğinde çok önemli bir role sahiptir. Bu çalışmada çok-etmenli sistemlerin kontrol edilebilirliği ve gözlemlenebilirliği graf teorisi ve sistem kontrol yöntemleriyle araştırılmıştır. Ilk olarak bir çok-etmenli sistem, giriş/çıkış ve orta elementlere ayrılmış; daha sonra bu giriş/çıkış sistemin durum uzay modeli incelenmiştır. Durum uzay modeli incelenirken çok-etmenli bir sistemin sistem matrisi elde edilmiştir. Daha sonra graf ve matris teorileri kullanılarak Laplasyen ve sistem matrisi uzerinden çok-etmenli sistemlerin kontrol edilebilirlikleri araştırılmıştır. Bu bölümde sistem ve Laplasyen matrislerinin özdeğer ve özvektörlerindan yola çıkarak bir çok-etmenli sistemin hangi şartlar altında kontrol edilebildiği gözlemlenmiştir. Tezin son bölümünde Laplasyen matrisinin normalleşmesi incelenmiştir. Gerçek uygulamalarda matrisin bozucu etkisi kaçırılmazdır. Laplasyen matrisinin normalleşmesi bize çok-etmenli sistemlerin yakınsama incelenmesinde daha fazla esneklik vermektedir. Bu bölümde ilk olarak bir matrisin H2 normunu bulabilmek için Lyapunov fonksiyonundan yardım alınmiştır. Daha sonra Laplasyen matrisinin H2 normu hesaplanmış ve bu norm çeşitli graflar uzerinde incelenmiştir. Son olarak yeni normalleşmiş Laplasyen matrisinin yakınsama hızı ve H2 normu ayrı ayrı graflarda gösterilmiştir. Elde edilen simülasyonlara göre tam graf bir çok etmenli sistemi kontrolu için hem hız açısından hemde H2 norm açısından en uygun graftır. Tam grafta her üye sistemin butun üyelerine bağlıdır, dolaysıyla her üye kendisini güncellemesi için bilgileri asıl kaynaktan aliyor ve güncelleme zamanı azalıyor.

Nowadays, multi-Agent systems have been used in many areas from scientific researches to industrial applications such as mobile phones and robots, multiple sensors systems, unmanned vehicles etc. Although consensus of multi-agent systems is a novel field of study it is challenged scientific from different areas as mathematics, electrical and computer fields and mechanical engineering. Consensus of a multi-agents means that all the agents in a network are agree in a specific value. Reaching to this value demands a special protocol that all agents of a network should follow. In this thesis we study different aspect of consensus of multi-agent systems. In consensus protocol of multi-agent systems graph and matrix theories play important roles. At the first part of this thesis we investigate these theories by study different type of graphs and see how Laplacian matrix can be calculated from graph theories. Actually, we can present every network with a graph, which every node of graph is represented each agent of a network and evert edge between this nodes shows how agents of a network are in communication with each other. We also realize that which type of graph is suitable for convergence of a multi-agent system. Then we investigate the fundamental protocol in consensus of multi-agent systems. We see how Lyapunov function introduces a protocol for convergence of multi-agent systems by using Laplacian matrix. In this thesis we investigate the effect of eigenvalue of Laplacian matrix in speed of convergence and time-delay convergence of agents of network. We investigate the convergence of multi-agent systems in both continues and discrete time systems. First, we study, by using Laplcasian matrix, to which value the agents of a network convergence. Then we investigate the same protocol on time-delay systems, as we know in real application there is always a delay in communication of agents in an active network. We also study two different methods for consensus protocol in discrete time systems and see the difference, benefits and disadvantages of each method. Leader-follower system is also investigated in this thesis. We study the reference tracking protocols for virtual leader in a multi-agent systems. We investigate both single and double integrator. For single integrator we first study protocol for constant reference and then for functional reference. We study the effect of spanning tree in leader-follower systems. Then we see the prove of both protocol in constant and time-varying references. For double integrator we study the normal and fast convergence. We study how agents of a network track the position and velocity of their leaders. We also see how Lyapunov function introduce a formula for fast tracking of a multi-agent system. Controllability and observability have very crucial role in control system engineering. In this study we investigate the controllability and observability of multi-agent systems. First, we study how to write a multi-agent systems in state space form. By writing a network in state space form we calculate the system matrix and input/output matrix of the system. Then we study three different methods for checking whether a multi-agent system is controllable and observable or not. We use Laplacian matrix and system matrix for controlling the controllability and observability of a network of agents. In the last part of this thesis we study the normalization of Laplacian matrix. It is obvious that in the real application the presence of disturbance is undeniable. Using H2 normalization of laplacian matrix gives us more flexibility in researching of convergence of a multi-agent system. In this part we use Lyapunov function for finding an appropriate formula for normalizing Laplacian matrix. Then we apply this formula on different graph such as complete graph, cycle graph and star graph. Finally, we show graphically how this method effects the speed of convergence and H2 norm of these graphs.