Blood flow and measurement techniques

Abstract

Kan akışının iyi bir şekilde anlaşılabilmesi için öncelikle maddenin katı ve sıvı hallerinin bilinmesi şarttır. Akışkan olan kanın davranışını önemli derecede etkileyen bir diğer faktör de damarların özellikleridir. Katı maddelerin gerilme-deformasyon ilişkisini ifade eden Young modülü, bir biyolojik madde olan kan damarları için ölçümü daha zor bir büyüklüktür. Elastik tüp kabulü ile yapılan hesaplamalar için E = APwR0 AR0 (R0- R,) O) şeklinde verilen Young modülü yeterli bir yaklaşımdır. En genel kabul ile kan Newtoniyen olmayan bir akışkandır. Ancak Newtoniyen yaklaşımın büyük bir doğrulukla yapıldığı bölgeler vardır. Genel olarak maddelerin özellikleri Şekil 1 'de verilmiştir. SOLIDS FLUIDS Şekil 1. Reolojik malzeme çeşitleri Daha çok uygulanan Newtoniyen olmayan akışkan şekli power-law akışkan! veya Bingham plastikleridir. Rijit, silindirik, düz ve r yançaplı silindir X*«i içinde akan Newtoniyen bir akışkan için " AP_.(R2. r2) N 41 ti ı f ' (2) şeklinde verilmiş olan hız profili ve APjtR. % 8It] (3) şeklinde verilen toplam debi, Power-law akışkanları için / «- \ v. = pl vS+1, AP \ l/S 21 K pl / (S+i)/s r(s+i)/sl R. - rf (4) ve «V SjtR. APR. \ ı l/S 3s+1 21 K Pl / (5) halini alır. Bu ifadeler Bingham plastikleri için ve UB=% AP (R2- r2) ı f 41 *y (R,- rf) (6) Qb = AP x R 4 r 81 rı P i ^1- y 1 " 3 I AP R f 21 4 n APR. (7) şeklindedir. Bingham plastiklerinden yapılan ve belli bir hatayı kabul eden yaklaşımla ampirik Casson denklemi kana daha iyi uyum sağlar. Casson denklemine ait, viskozitenin ölçüsü olan yoğunluk katsayısı Kc = İr - Fİ & 7d (8) KiK ifadesi ile verilir. Casson denklemini sağlayan akışkanlara ait hız profili 41 K^ ' f 3 K* ve toplam debi ifadesi AP 21 'V-r,3'Z)4.Ri-rf) Kc O) f Qc = AP jtR. 4 r 81 k; 1 - 16 / 21 1/2 APR. 21 3 l AP R. 21 / 21 4-, AP R. (10) olarak verilmiştir. Kan damarları duvarlarının visko-elastik katı gibi davrandığını gösteren kanıtlar vardır. Bu duvarlara ait mekanik modelleme paralel bagfi bir daşpot ile yaydan ibarettir. Çözelti ve Asıltılar Newtoniyen akışkanların içerisine büyük moleküller ve parçacıklar karıştırıldığında akışkanın özelliklerinde önemli değişiklikler olur. Alınan birim küp içerisine yerleştirilen parçacıkların bulunduğu halde, parçacıkların bulunmadığı hale nazaran, uygulanan gerilme çifti sonucu oluşan hız farkı daha büyüktür. Rijit, birbiriyle etkileşimi olmayan asıltı halindeki kürelerin düşük konsantrasyonlardaki etkileşimleri ihmal edilebilir ve akışkan Newtoniyen sayılabilir, c birim hacimdeki çözeltideki parçacıkların hacmi olmak üzere, çözeltiye ait viskozite r\s, ti0 çözelti sıvısı olmak üzere r\s = r\0 (1+2. 5c) şeklinde ifade edilmektedir. Çözelti içerisindeki parçacıklar küre şeklinde değilse etkileşim mekanizması düşük konsantrasyonlarda bile oldukça karmaşıktır. Küre geometrisi yerini düzgün yüzeyli, rijit, rastgele yerleştirilmiş diğer geometrilere bıraktığında aynı konsantrasyondaki etkileşim kuvvetleri artacağından göreceli viskozite büyür. Elipsoid ve disk gibi geometrisi olan rijit parçacıklardan oluşan sulandırılmış çözeltiye uygulanan kayma gerilmesi, rastgele konumlanmış olan bu parçacıkları, uzun eksenleri kayma düzlemine paralel olacak şekilde düzenlemeye çalışır, çözeltinin viskozitesi kayma hızından bağımsızdır. Esnek Parçacıklar Parçacıkların esnekliği, Newtoniyen olmayan özellikleri ve kanın akışını önemli ölçüde etkiler. Düşük kayma hızlarında hücrelerin deformasyonu K\ küçük olduğundan hücreler rijit sayılabilirler. Yüksek kayma hızlarında hücrelerin deformasyonu önem kazanır ancak bunun viskoziteye etkisi hücreler arasındaki etkileşim tipine ve sayısına bağlıdır. Küçük gerilmelerde yapı elastik olarak deforme olur. Belirli bir şekildeki rijit parçacıklar için plastik viskozite öncelikle mevcut parçacıkların konsantrasyonuna, bu konsantrasyondaki parçacıklara uygulanan gerilmeye ve parçacıklar arasındaki kuvvetlere bağlıdır. Dolaşım Sistemi Kalp ve kan damarları ile ilgili sistemin şematik gösterimi Şekil 2'de verilmiştir. Dolaşım sistemi eşçalışan iki farklı atardamar, kılcaldamar ve toplardamar sistemlerinden oluşur: Arterioles. Systemic Circulation Capillaries ^E^Venules Microcirculation Aorta Venous Vena Cavae Arteries Pulmonary Circulation Sekil 2. Dolaşım sistemi 1. Kalbin sol karıncığından çıkan ve temiz kani kılcal damarlara kadar taşıyan, oradaki karbondioksiti, hücrelerdeki besin artıklarını daha düşük bir PH değeriyle sağ kulakçığa kadar ileten sistemik dolaşım, 2. Sağ karıncıktan çıkan ve kirli kanı ciğerlere kadar taşıyarak akciğerlerde oksijen-karbondioksit değişimi gerçekleştirilmesi suretiyle kan temizlendikten sonra temiz kanı sol kulakçığa ulaştıran akciğer dolaşımı. En büyük atardamar aorttur. En büyük toplardamar ise vena cavae'dir. Genel olarak hız ve basınç değerleri sistemik dolaşımda daha büyüktür. Damarlardan oluşan bu sistemler çok büyük ve karmaşık elastik veya visko-elastik şebeke görünümündedir. Aorttan gelen akış, toplam kesit alanlan aorttan yüzlerce misli fazla olan, sayıları 100 milyonu aşkın kılcal X** damarlara yayılır. Asıl problem bu karmaşık yapının analizine ilişkin hidrodinamik ve reolojik metotların irdelenmesi olmasına rağmen, ilk adımda çok çeşitli olan damarların ve içerisinde akan kanın fiziksel özellikleri incelenmelidir. Kan Damarları Atardamarlar arteri ve küçük arterilerden oluşur. Arteriler iki tiptir. Elastik olanların temel görevi kanın ana taşınması işlevidir. Kas tipi arteri ise kanı kılcal damarlara taşır. Yapılarında 3 temel madde vardır: Elastin, kallojen ve düz kas. Bunlardan en büyük Young modülüne sahip olan kallojendir. Kas tipi arterilerin elastik arterilerden en önemli farkı, damarın çok farklı yüklemelere karşı mukavemetini sağlamak maksadıyla helis şeklindeki kas hücrelerinden oluşmasıdır. Oysa elastik arteriler birbirine paralel kas hücreleri içerir. Büyük arterilerde elastik bağlayıcı madde, kallojen liflere göre daha fazladır. Kas hücreleri sıkıştırılarak daha yuvarlak bir şekil aldırıldiğında kas tipi arterilerde duvar sıkılaşır, elastik arterilerde ise duvar kalınlaşır, damarın efektif çapı azalır ancak duvarın sıkılığı hakkında birşey söylenemez. Genellikle arteriler dairesel bir kesit alanın a sahiptir. Aort ve akciğer atardamarı haricinde atardamarlarda kalp atımlarına bağlı olarak bir uzama görülmez. Canlı içinde yapılan deneylerden elde edilen sonuçlar genellikle laboratuvar şartlarında, tüpler içerisinde yapılan deneylerden elde edilen sonuçlardan farklıdır. Ayrıca farklı maddeleri ayrı ayrı deneye tabi tutarak elde edilen sonuçlar, bunların kendi karmaşık ortamlarında elde edilen sonuçlardan farklılık arzeder. Örneğin, kendi başlarına Hook davranışı gösteren elastin ve kollajen lifleri arteri duvarlarında lineer davranmazlar. Arteri duvarları arasındaki basınçtaki dalgalanmalar ortalama basınçtan ±%20 sapma gösterirler. Bu durumda damar yarıçapının %30 ila %40 civarında değişmesi beklenir. Ancak elastisite modülünde meydana gelen değişiklikle yarıçaptaki değişim %5 civarında olur. Atardamar duvarlarının Young modülü yaşa bağlı olarak artar. Bu duvarlar içlerinde bulunan düz kaslara bağlı olarak visko-elastik Özellik de gösterebilirler. Kan akış hızı 1 0 cm/s'den büyüktür. Küçük arteriler kan akışına daha büyük direnç gösterirler. Arterilere gore daha dardırlar. Serbest halde daha düşük olan statik elastisite modülleri gerilme artınca birden büyür. Kılcal damarlar kan ve doku hücreleri arasında madde alışverişinin gerçekleştiği ince kanallardır. Genellikle 3-1 5^ arasında değişen sabit çaptadırlar. Yapılarında elastin veya kollajen yoktur. Duvar kalınlığı ise 2 ila 3 \ı arasındadır. 30 A° çapına ve 5200 moleküler ağırlığa kadar olan maddeler duvarlardan difüzyonla geçebilir. Ayrıca 350 A^a kadar olan XX" maddelerin geçebileceği daha büyük gözenekli sistemler de vardır. Akış hızı 0,1 cm/s'den düşüktür. Toplardamarlar kendilerine karşı düşen atardamarlara göre daha büyük çaplıdırlar. 1 40 jı'dan 2 cm'ye kadar değişirler ve boyları boyunca genişlerler. Tüm dolaşım sisteminde akış kesit alanının en büyük olduğu kanallardır. Buna bağlı olarak ortalama hızın en düşük olduğu görülür. Damarların genel olarak yapısı atardamarlarınkine benzer. Ancak daha az kas ve elastik madde içerirler. Rijit değillerdir. Duvarları daha incedir. Dolaşım sistemine ait basınç değişimleri Şekil 3'te verilmiştir. Toplam kan hacminin %30'u 1 500 jx'dan daha küçük damarlarda mevcuttur. o < < o;.22 w ro 3 c 03.2 > >- o <.32 o *-> c > c 5 CD.M ı_ < 03 C O E 03.? '55 S S? o> "5 ^ > > cc £ n. c ' ~ VI 03 JD 0> O) -ö = *j 13 "¦ t/5.S? o S.2 < «4- Systemic Circulation ¦ Pulmonary ! Circulation Şekil 3. İnsan kan dolaşımındaki basınç ve basınç değişimi değerlerinin sistemlere göre dağılımı Kan Temel görevi hücrelere oksijen sağlamak ve karbondioksiti ciğerlere taşımaktır. Bunun yanında böbreklerden gaz olmayan artıkları elimine etmek, sisteme giren yabancı biyolojik maddeleri nötralize etmek, çeşitli XX1** yüzeylerden isi yaymak ve mide ve ince bağırsaklardan besin toplamak gibi görevleri vardır. Plazma, içerisinde fibronojen, globulin ve albumin proteinlerinin bulunduğu bir tuz çözeltisidir. Kan, plazma ve içerisinde akyuvarların, alyuvarların ve trombositlerin bulunduğu bir süspansiyondur. Plazma sıvısı ile ve kan ile yapılan deneylerin sonuçları çoğunlukla birbirini tutmaz. Kırmızı kan hücreleri toplam kanın %40-45'ini işgal ederler. Bu hücrelerin yüzdesi hemotokrit olarak adlandırılır ve deneyler genellikle bu yüzde kullanılarak yapılır. Bu hücreler hemoglobin taşırlar. 1 00 mi kanda 1 5 gr hemoglobin bulunur. 1.08 gr/ml yoğunluklu olup genellikle bikonkav disk şeklindedirler. Beyaz kan hücreleri vücudu hastalıklardan korumakla görevlidir. 1 000 alyuvara 1 akyuvar hücresi düşer. Hastalık anında sayıları artar. Bu durumda damar duvarlarına yapışarak akışa ait efektif kesit alanı azaltırlar ve akis seklinde önemli ölçüde değişiklik yaratırlar, hemoglobine göre daha viskozdurlar. Trombositler kırmızı ve beyaz kan hücrelerine göre çok daha küçüktür. 2-3 \ı çapındadırlar. Kan içindeki hacim konsantrasyonları %0,3'tür. Eksikliğinde pıhtılaşma gecikir, fazlalığında ise kanda pıhtılaşmalar görülür. Akışın Dinamiği Atardamarda akış atımlı karakterdedir. Toplardamardan çıkıp kalbe giren ve sol karıncıktan aortu besleyen kan, aortta ve yakındaki atardamarlarda %5-6 genişlemeye sebep olur. Herbir beslemeyle basınç dalgası atardamar boyunca ilerler ve atım olarak hissedilir. İlerleme hızı kanın hızından 10 ila 20 kez büyüktür ve atardamarın kalınlığına ve elastisitesine bağlı olarak değişir. Aynı zamanda aortta 500 cm/s olan bu değer diğer atardamarlarda 1 000 cm/s civarındadır. Basınç ve akış atımları sistemik dolaşım boyunca ilerledikçe profilleri değişir, akış atımlarına ait genlik düşer. Buna karşılık basınç atımlarına ait genlik artar. Atardamar sistemlerinde reolojik ilgi, kanın Newtoniyen olmayan özelliklerinin ve damar duvarlarının visko-elastik özellilerinin akış direncini ve sistem içindeki basınç dalgasının ilerlemesini nasıl etkileyeceği üzerindedir. Bu durum akışın laminer veya türbülanslı olmasına bağlıdır. Akış laminer ve daimi ise akışa ait kayma hızı O'dan duvarda maksimuma kadar artar. Daimi olmayan akışlarda ortalama kayma hızı daha büyüktür. Büyük damarlara ait basınç değişimleri, enerji kayıpları ve Reynolds sayısı hesaplanırken Newtoniyen olmayan özellikler ihmal edilebilir. Diğer yandan, eğer akış türbülanslı ise basınç gradyeni viskozitenin 4'uncu dereceden kökü ile orantılıdır. Bu durumda akışa aît basınç gradyenleri Newtoniyen olmayan özelliklerden kaynaklanan viskozite değişimlerinden pek etkilenmezler. Tüp Reynolds sayısına bakılarak akışın laminer veya türbülanslı \\İ9 olduğu anlaşılabilir Ancak atımlı atışlarda durum biraz şüphelidir. Türbülans ortalama hızın en büyük değerde olduğu ve akışın atımlı özellik gösterdiği aortta görülebilir. Ancak sabit akış hızında model üzerinde yapılan deneylerde aortun yay şeklindeki kısmında laminer akış görüldüğü saptanmıştır. İlerideki düz bölgelerde ise akış özellileri karmaşıklaşmıştır. Atim hızı arttıkça türbülanslı hale geçebilmek için gerekli ortalama hız değeri düşmektedir. Diğer önemli bir gözlem de atardamarlarda kanın akışa direnci etkileyen Newtoniyen olmayan özelliklerinin diğer kısımlara göre önemsiz olduğudur. Büyük arterilerde basınç dalgasının ilerleme hızı kanın veya damarın viskoz bileşenleriyle pek ilişkili değildir. Atımlı akışta Poiseuille denklemi geçerli değilldir. Mikrodolaşımda atımlı karakteristikler önemli ölçüde sönümlenmiştir. Sönümleme miktarı sistemik dolaşımda, akciğer dolaşımına nazaran daha fazladır. Akış hizi çok düşük olduğundan kanın viskoz özellikleri de oldukça fazladır. Diğer yandan basınç dalgalan olmadığından damar duvarlarının visko-elastik etkileri azalır. Damar çapı iyice azaldığından kan artık bir akışkan sayılamaz. Ortalama hemotokrit değeri azalır, kayma gerilmesi çok artar, hareke kan içerisindeki parçacıkların göreceli hareketi ile olur. Bölgenin kalınlığı hıza bağlıdır. Hız azaldıkça çap iyice düşer. Tüp Reynolds sayısı çok düşüktür. Damarlardaki sınırlamalar veya asimetri kırmızı kan hücrelerinin oryantasyonunu bozabilir. Bağlantı yerlerinde ve eğri bölgelerde bu duruma sık rastlanır. Toplardamar sistemlerinin başlıca karakteristiği atardamar sistemlerine göre hızın daha az atımlı olması ve daha düşük olmasıdır. Toplardamardaki akış kalp tarafından bir emme ile olmayıp damar yapısında bulunan kas hücrelerinin kasılması ve bu kasılmanın valflerle akışa iletilmesi şeklindedir. Kan başmandaki değişim atardamar sistemindekinin 1 0'da biri kadardır ve bu, damarların aşırı esnek olmasıyla sağlanır. Hızın daha düşük olması ve atımların küçük olması türbülans olasılığını azaltır. Toplardamarlar genellikle eliptik kesitli bir geometriye sahiptirler. Kayma gerilmesi damarın dairesel kesit alanına sahip olduğu kabulüyle bulunur ve kanın Newtoniyen olmayan özelliklerini Önemsiz kılar. Bunun yanında, damar duvarlarının visko-elastik davranışı dinamik geometrilerinin hesaplanmasında ve dışarıya yaydıkları enerjinin bulunmasında önemlidir. Tüp İçerisindeki Kan Akışı Teorisi Bir canlı içerisindeki kanın davranışı ancak daha basit modellemelerle anlaşılabilir. Akış genel olarak 3 şekilde incelenebilin 1. Büyük çaplı tüpler içerisindeki akışlar, 2. Dar tüpler içerisindeki akışlar, 3. Çok dar tüpler içerisindeki akışlar. Silindirik, rijit, düz ve büyük çaplı tüplerde Newtoniyen akış birçok kişi **« tarafından çalışılmıştır. Damarın esnek olması ve atımlar daimi olmayan akışa sebep olurlar. Bu tüplerde akış incelenirken kanın Newtoniyen olduğu kabul edilir ve daha çok damarların visko-elastisitesiyle ilgilenilir. Kan akış hızının sabit olması halinde, kanın Casson denklemine uyduğu kabulüyle hız profili ve basınç gradyeni ile ortalama hız arasındaki ilişki bütün hız değerleri için elde edilebilir. Kanın homojen olduğu kabulü yapılabilir. (1 0) ifadesi, hassasiyette önemli bir kayba sebep olmadan Qc = re R 3 r/ 4K. APR. 21 1/2 - T, 1/2 OD ifadesine yakınsar. 1-6 mm çapındaki tüplerde kanın bir power-law akışkanı olduğu kabulüyle yapılan deneyler duvara komşu 40 n'a kadar ulaşabilen plazma bölgesinin varlığını göstermiştir. Dar tüpler için homojen kan kabulü yetersiz kalır. Bu durumlarda hemotokrit ve kanın görünen viskozitesi azalan tüp çapıyla düşer. Kan Newtoniyen olmayan özellik gösterir ve içi parçacıklarla doludur. Ayrıca parçacıklar küre şeklinde değil, disk şeklindedir ve kolayca deforme olabilir. Genellikle öncelikle Newtoniyen akışkan kabulüyle parçacıkların etkileri incelenir, bu parçacıklar öncelikle rijit ve küre şeklinde farzedilir. Mikrodolaşımda Reynolds sayısı ufaktır, türbülans yoktur ve modellemeler viskoz akış üzerine kurulabilir. Ayrıca kan hücreleri ile plazma arasındaki yoğunluk farkı da çok küçüktür. Dar tüp içerisindeki akışta parçacıkların radyal yerdeğiştirmeleri mümkündür. Buna mekanik veya hidrodinamik kuvvetler sebep olabilirler. Parçacıklar tüp eksenine doğru hareket ederlerse hızları artar ve hacim konsantrasyonları azalır. Dar tüp modellemesiyle alyuvar konsantrasyonunun besleme konsantrasyonuna oranı _ v c c. v plasma _.- + c (1 v cells plasma cells ) (12) denklemiyle verilebilir. Dar tüpün çapı azaltıldığında görünen viskozite azalır. Parçacıkların içeriye doğru hareketi akış rejimini bozar. Bu şartlarda yeni bir Reynolds sayısının tanımlanması gerekir. Bu sayı Re R. (13) W» şeklindedir. Parçacıkların yoğunlukları farklı ise akışı tanımlamak için başka bir boyutsuz büyüklük daha gerekir. Parçacıkların rijit disk şeklinde olması halinde düşük hızlarda ve konsantrasyonlarda parçacıklar tahmin edilebilen yörüngelerde hareket ederler, yüksek konsantrasyonlarda ise dönerler ve eksenleri akış yönüne dik olur. Yüksek hızlarda ise rijit diskler yüzleri tüp eksenine gelecek şekilde sıralanırlar. Velocity Profile Low Velocity High Velocity Şekil 4. Eksenel katar modeli En dar kandamarlarında ise alyuvarların çapları damar çapıyla hemen hemen aynıdır. Bu durum yeni bir modelleme gerektirir. Bu amaçla en çok kullanılan modelleme eksenel katar modellemesidir. Hücreler birbirini izleyecek şekilde ve disk yüzeyleri birbirine paralel, damar eksenine dik olarak sıralanırlar (Şekil 4). Bu modelleme ile kan içindeki parçacıkların hızının plazma hızına orani için v cells v plasma -r-1 ;+(VRı)' - C, 04) bağıntısı bulunur. Ortalama parçacık konsantrasyonu minimum olduğunda plazma ile hücreler arasındaki hız farkı maksimum değerine ulaşır. Parçacıkların hızı plazmanın hızının 1.6 ila 2 katıdır. Yine bu modelleme ile görünen bağıl viskozite \b = 1 1- (a/R,) 05) olarak bulunur. Çok dar kanallarda kanın görünür viskozitesi, alyuvarların efektif çaplarının bilinmesi halinde hesaplanabilir. Hücreler kanın akış hızına ve sistemin reolojik özelliklerine göre kolayca şekil değiştirebilirler. Dar tüplerde Wü büyük ve rijit hücreler, küçük ve esnek hücrelere göre kesit alanının daha büyük bir kısmını doldururlar ve ortalama büyüklükteki hücrelere göre daha yavaş hareket ederler. Küçük hücreler ise ortalama büyüklükteki hücrelere göre daha hızlı hareket ederler. Bu durum hücreler arasında gruplaşmalara sebep olur. Silindirik Damarlar İçin Çözümler Buradaki Önemli konu periyodik iç basınca maruz silindirik (elastik yahut visko-e lastik) damarın genişlemesi ve büzülmesidir. Basınç bir ortalama değer civarında değişir. Damar içerisindeki akış eksenel gerilmeye ve kayma gerilmesine yol açar. Baskın etki iç basıncın yol açtığı çevresel gerilmedir..Trr-R Şekil 5. Silindirik damar duvarı parçasına etkiyen kuvvetler dengesi Homojen, sonsuz uzunluklu, dairesel kesitli bir damar yapısı varsayılmaktadır. pw yoğunluklu sıkışmaz bir malzeme düşünülmektedir. Şekil 5'te tariflenen gerilme büyüklükleri zamana bağlı P(t) basıncıyla ilgili olmak üzere 06) 06a) (16b) sınır şartlan sözkonusu olmaktadır. Burada tüpün dış yüzeyinin sınırlandırılmadığı kabul edilmektedir. Bu halde, srr=lF u. £88~ r (17) XX? «i uzamaları tariflenen bir P(t) değeri ve gerilmeyi uzamaya bağlayan bir modelleme ile hesaplanabilir. Örneğin sabit bir basınç değeri için dış duvarın yerdeğişimi AR O _ 2P R O oyıv-ı (18) olarak ve çevresel gerilme dağılımı 90 oyıy-ı 2 V r / (19) olarak çözülebilir. Buradan ince duvarlı tup kabulüyle Tm = (VRi)Tee = PRi (20) şeklinde bir zar gerilmesi tariflenebilir. Yukarıdaki gibi atımsız çözümler arterilerin elastisitesinin hesabında önem taşırlar. Bergel iç basınçtaki artıma tekabül eden modül artımını P -P 3 1 E (P ) = ınc^V R-R 2 2R.2R02 03",x01 (Rq-R?) (21) olarak hesaplamıştır. Bir model olarak damar duvarını elastisite modülü Ee olan elastinden ve elastisite modülü Ec olan kallojenden oluşmuş kabul etmek mümkündür. Bu yaklaşimla elastisite modülü E(e) = EA + F '"£ i1 +H} T. e" be| 1 +fbe (22) ile uzamaya bağlanabilir. Burada e=1.68/b iken liflerin yarısının gergin olduğu kabul edilmektedir. Damar yapısındaki bir başka zorluk da anizotropidir. Lifler genellikle damar etrafında helisel bir yapıdadır. Şu halde damar genişlemesi lifleri radyal zorlamaya maruz bırakmaz ancak çevresel bir gerilme sözkonusu olur. Şu halde radyal deformasyon modülü çevresel deformasyon **R modülünden farklıdır, yani yapı anizotroptur. Atımlı akış gerçeği gözonüne alınarak damarın iç basınca yanıtı incelenebilir. Bunun için basıncın P(t) = P-! sin rot (23) şeklinde sinuzoidal olduğu kabul edilebilir. T+Sf = Ee + EX2f (24) denklemi basit bir visko-elastik model olarak gözonüne alınabilir. Burada X-\ ve X2 serbest hale dönüş zamanlarını gösteren sabitlerdir. E sabit kabul edilerek lineer, izotropik, visko-elastik malzeme varsayımına gidilebilir. Kompleks değişkenlerle çözüme gitmek istenirse T=Re (T eİUît) z=Re (Çeifflt) P=Re (Peirot) (25) değerleri çeşitli yaklaşımlarla incelenebilir. Navier-Stokes denklemleri yardımıyla dv ap_ dz + \ı İ2L dr2 1 dv r ar (26) eşitliğine indirgenip v = 0 dv dr = 0 r =R r =0 (26a) (26b) sinir şartlan kullanılarak rijit bir tüp için atımlı akış çözümüne gidilebilir. Womersley'in yaklaşımıyla problem çözülürse v P'R2 2 \ıa I f-3/2 )-, I f-3/2 ).icot (27) ve KKK Q = 3tR4iP' 2 2J vod.3/2.3/2 OQ I ( 3/2 J cot (28) elde edilir. Elastik tüp için atımlı akış kabulüyle çözümleri elde etmek üzere Navier-Stokes denklemleri ve süreklilik denklemi ayrı ayrı kan için ve damar için yazılmalıdır. Newtoniyen akışkan ve izotropik malzeme kabulleriyle problem basitleştirilmeye çalışılsa da oldukça karmaşık bir görüntü arzeder. Damarın dışarıdan sınırlandırılmadığı varsayılarak radyal ve eksenel hız ile basınç değerleri için sıfırına ve birinci mertebeden ve birinci neviden Bessel fonksiyonlarını içeren kompleks seri fonksiyonları bulunur. Buna göre empedans Z = - dp/dZ Q (29) olmak üzere ve Z0 daimi haldeki empedansı göstermek üzere Şekil 6 atımlı akış için teoriyle ampirik bağıntıların uyumunu göstermektedir. 12 IB 20 Şekil 6. Greenfield ve Fry'in atimlı akış için rijit tüpte yaptıkları deney ile Womersley'in teorisinin karşılaştırılması Ölçüm Teknikleri Kardiyovasküler fizyolojide Ölçülen en önemli 3 büyüklük basınç, akışa ait büyüklükler ve uzunluklardır. Ölçümlerin doğru yapılabilmesi ve sonuçların denetlenebilmesi için gerekli olan ve önceden bilinmesi faydalı görülen iki önemli konu transduksiyonun prensipleri ve ölçüm aletlerinin frekans *W cevaplarıdır. Fizyolojik ölçümler genellikle transducer denen, ölçülen değerleri gösterilebilecek veya kolayca ölçülebilecek duruma çeviren aletlerle yapılır. Tranducer çıktıları genellikle elektrik voltajı veya akımıdır. Transducerların en önemli karakteristiklerinden birisi orijinal olayı yeniden üretebilmeleridir. Gerçek sisteme ait çıktılar ölçülen her an için değişken değerlerine bağlı iken ideal sonuç ancak sinirli bir girdi aralığında elde edilebilir. Transducerların iki çeşit cevabı vardır: Statik cevap dinamik cevap. Statik cevap elektrikteki DC akıma benzetilebilir ve bilinen bir büyüklükte giriş sinyali uygulandıktan sonra aletin dizayn aralığında, elde edilen çıktıyı ölçmek şeklinde test edilir. Çoğu durumlarda 0/1 oranı sabit olup lineer kalibrasyon eğrileri verirler. Dinamik davranış ise sabit genlikli, değişken frekanslı sinuzoidal girdiye cevap şeklindedir. İdeal cevap, frekanstan bağımsız, girdiyle aynı fazda, sabit genlikli olacaktır. Test için ardarda farklı frekanslarda sinuzoidal girdiler uygulanır ve çıkışlar ölçülür. Transducerlarin 4 özelliği ayrıca önemlidir. Bunlar lineerlik, krarlılik, histerizis ve gürültüdür. Başlıca transducer çeşitleri, strain gauge manometreleri, kapasitans manometreleri, indüktans manometreleri, optik manometreler, servo manometreler ve piyezoelektrik manometrelerdir. Akış Hizinin ve Atimi» Akişm Ölçülmesi Günümüze kadar atimlı akışların ölçülmesinde çok ilerleme kaydedilmiştir. En önemli zorluk aparatları oluşturan parçaların teorik dizaynindaki zorluklardır. Akışa ait büyüklükleri ölçen aletlere, bu büyüklük hız bile olsa, genel olarak akışölçer denir. Doğru bir akışölçer, hiz profili ne olursa olsun toplam hacimle orantılı bir çıkti verir. İdeal bir akışölçer yüksekfrekans cevabı verir, doğrultu hassasiyetleri hemotokrit ile ve damarin duvar özellikleriyle bozulmaz. Hiz problarında ise çıktı probu geçen kan hızıyla orantılıdır, damann boyutlari önemsizdir. Önemli bir nokta ise probun akışı bozmaması gerektiğidir. En çok kullanılan 3 kanal akışölçeri elektromanyetik, ultrasonik ve termal tip olanlarıdır. Kılcal damarlardaki kan akışı özel bir problem olup fotometrik ve elektronik metotlarla ölçülür. Uzunluk ve Boyut Ölçümleri Dolaşım sistemi incelenirken damar çapları, kalp odalarının hacmi ve şekli, damarların duvar kalınlıkları gibi boyutların bilinmesi gerekir. Bu ölçümler sanıldığı kadar kolay olmayıp ölçüm hassasiyetleri de düşüktür. Ölçümleri etkileyen temel nitelikler; lineerlik, cevapların ilgisiz olaylardan etkilenmemesi, Ölçüm aletlerinin doğruluğu, kalibrasyonlar, cihazların uzun dönemli yerleştirilmeleri ve seçilen malzemeler, yerleştirilen cihaz ve malzemelerin fiziksel ve biyolojik etkileri ve ayrıca kullanılacak sistemin tipidir. Sistemler sürekli, yarı sürekli ve süreksiz olarak sınıflandırılabilirler. Sürekli metotlar tüm zamanlar için çıktıları anlık değerleriyle ölçerler. Yari sürekli metotlarda tekrarlanan ölçümler otomatik olarak yapılır. Süreksiz metotlar fotografik ve radyografik teknikleri içerir. Sürekli metotlar çok çeşitli direnç transducerları, indükleyici transducerlar, kapasitans trnsducerları ve fotoelektrik cihazları yöntemleridir. Yarı sürekli metotlar ise ultrasonik teknikler ve fotoelektrik tarama metodudur. Verilerin Kaydedilmesi ve Analizi Kan akışının ölçülen fiziksel büyüklükleri genellikle atıma göre tekrar eden karakterler gösterirler. Bu nedenle bir kalp atımı süresince elde edilen sonuçlar sürekli ve daimi bir fiziksel çevrede yeterli olabilmektedir. Çoğunlukla fizyolojik transducerlar ölçülen değişkeni voltaja çevirirler ve bu analog bilgi bilgisayarlarda saklanır. Bir deneyi grafik kağıdında veya katot ışını osiloskobunda izlemek klasikleşmiş yöntemlerdir. Bu bilgilerin dijital manyetik ortamlarda saklanması da birçok bilim adamınca kullanılan bir çözümdür. Analog kayıt ortamları biyolojik ölçümlerde elde edilen analog sonuçların kaydında bir çeviriciye gerek olmaksızın kullanılabilir. Ancak, dijital bilgisayarlara ve ortamlara veri transferinde analog/dijital çeviriciler kullanılmaktadır. Bu durumda verilerin çokluğu dijital hesaplamaların hassasiyetini iyileştirir. Elde edilen sonuçlara ait hesaplamalar frekans analizi, cebirsel eşitliklerin çözümü veya diferansiyel denklemlerin uygulanmasıyla yapılabilir. Birçok fiziksel olayın fonksiyonel temsilinde olduğu gibi kan ölçümlerinde de elde edilen değişimler Fourier serileriyle ifade edilebilmektedir. Olaylar periyodik olduğundan ve sinuzoidal eğrinin sözkonusu fonksiyonları temsil etmedeki uygunluğu nedeniyle Fourier serileriyle oldukça hassas bir şekilde, aranan büyüklükler zamana bağlı olarak ifade edilebilmektedir. Diğer bir yöntem olan spektral analiz istatistiksel bir yaklaşım içerir. Teknik daha yüksek gürültü seviyelerindeki bir sistemde meydana gelen periyodik atımları incelemeyi mümkün kılar. Kan akışındaki gürültü çok fazla olmadigından sozkonusu teknik rahatlıkla işler. Yöntem, sinus dalgasındaki herhangi bir noktayı, takibeden periyotlardaki karşı gelen noktalarla ilişkilendirmeye dayanır. Elektrikteki belli uygulamalarına benzetilerek harmoniklerin genliklerinin kareleri kuvvet spektrumları olarak adlandırılır. Benzer şekilde yapılan tariflerden yola çıkarak sözkonusu ilişkiler integraller yahut seriler şeklinde elde edilir. Analizin bir diğer ilgi çekici konusu da test aletlerinin sınanmasıdır. Çoğunlukla basınç ölçen aletler ikinci dereceden sistemlerdir. Yani ikinci dereceden bir adi diferansiyel denklemle ifade edilebilirler. Buradan hareketle ölçüm sonuçlarının tashihi için çözümler de geliştirilebilir.

Blood is the main substance of both human beings and most animals in order to sustain their lives. This is why, researches related with blood flow and characteristics of blood are of vital importance for biological and medical applications. Since it is a fluid, scientists of fluid mechanics also study on this subject. Blood is a very complicated fluid to examine analytically. So that reason, the solutions are done under certain assumptions. The problems are usually about determining the pressure, velocity of the flow and the dimensions of vessels. Firstly, in order to solve the blood flow problems, it is necessary to understand the special characteristics of the blood and vessels. In general, blood is a non-Newtonian suspension that consists of red cells, white cells, platelets, plasma and metabolites. Plasma is a saline solution with protein molecules. Red cells are occupy %40-45 of the blood and have elastic biconcave disc geometry. There are 3 types vessels. Arteries, Capillaries and Venules. Arteries are the vessels which carry blood from heart to tissues. Their diameters decrease in the flow direction. The flow in the arteries has pulsatile characteristics. In capillaries these pulsatile characteristics are not important; however, the shear effects act on the flow properties. The diameters remain constant, and the exchange of materials between blood and tissues occurs in this part of the circulation. Since venules have the biggest diameters in the circulation, the velocities of the flows in them are smaller than the corresponding arteries. Their diameters increase in the direction of the flow and there is no pulsations in the flow. Their major task is carry the blood from capillaries to heart. Due to the diameters and kinds of the vessels, distance from the heart and properties of the blood, the characteristics of the flow change; the flow can- be assumed Newtonian or non-Newtonian, laminar or turbulent, pulsatile or steady, continuous or discontinuous. In order to measure the flow characteristics usually transducers are used. Due to the pulsation of the flow the measurement method can be chosen. Pressure is measured by manometers and the other flow variables, even velocity, are measured by flowmeters. The results coming from analytical and experimental rheological studies are evaluated by means of Fourier series or spectral analysis. Fourier series represent the periodic characteristics of the pulsatile flow easily. Spectral analysis is a technique to make analysis under noise factor by means of statistical approaches. Although marry studies have been done about blood rheology there are a lot of problems waiting to be solved by fluid mechanics researchers.