Resumen:
El punto de partida y la base principal de nuestrotrabajo, ha sido el más general resultado debido a Santaló (Teorema T), sobre la existencia de medida para conjuntos desubespacios lineales del espacio proyectivo Sr . En él, se da una condición necesaria y suficiente,para la existencia de medida de tales conjuntos, bajo lashipotesis de que 1°, los espacios se definan mediante n+l puntos linealmente independientes y 2°, los subespacios sean, dos ados, sin puntos comunes. Despues de una introducción en los n° l —3,los resultados que presentamos a partir del n° 4, se pueden resumirdel modo siguiente: En el n° 4, se dan expresiones explícitas parala medida cinemática del grupo proyectivo y para dos configuracionescuyas medidas tenian existencia conocida de acuerdo al Teorema T. Los resultados del n° 5, se refieren a la transitividaddel grupo proyectivo respecto a ciertos elementosgeométricos y se establecen al sólo efecto de justificar el estudioposterior de la existencia de medida para esos elementos. En el n° 6, se establecen condiciones para laexistencia de medida de elementos geométricos, pero bajo hipótesisno geométricas, esto es, no dadas en Sr . Estas condiciones son sin embargo, la base para lacaracterización (en n° 7), de los conjuntos de subespacios linealescon medida, bajo la sóla hipótesis de que ellos se puedendefinir mediante n+l puntos linealmente independientes. Esta caracterización, contiene como caso particular al resultadode Santaló, ya que prescinde de la 2° hipótesis del Teorema T. Resulta en particular que dar un conjunto de subespeciospara el cual existe medida (aun en el caso en que los subespaciosse corten y por lo tanto la configuración no se pueda estudiarcon el Teorema T), es "substancialmente" lo mismo quedar una familia de subespacios para la cual Santaló ha previstomedida. Como una consecuencia de este resultado se da,también en el n° 7, una caracterización total (sin hipótesisalguna) para los pares de subespacios con medida. En el n° 8, se establecen nuevas condiciones parala existencia de medida de los conjuntos estudiados en eln° 7. En el n° 9, se estudian conjuntos de h+2 puntos (h+l cualesquiera independientes) de un subespacio Sr (que llamamos "los puntos de Sr") y se demuestra que la medidaexiste si, y sólo si, h = n (medida Cinemática). En el n° lO, se da una generalización de los resultadosdel n° 9, considerando los puntos de más de un subesespacio. En el n° 11, se da una nueva generalización (en unsentido distinto a la del n° 7) del Teorema T de Santaló, estableciendoseque, bajo las mismas hipótesis sobre el conjunto desubespacios, al Teorema T sigue siendo válido cuando en lugarde uno o más subespecios, se consideran los puntos de esos subespacios. Se calcula la medida para los puntos de un parde rectas en S3 (de existencia conocida por el n° 10) y parael conjunto (en Sr ) de n+2 puntos, uno de ellos dependiendode h+l de los otros. De aqui, como caso particularh = n, se obtiene una nueva expresión para la medida Cinemática (ya calculada en el n° 4). En el n° 12, en base a los resultados de los n° 7 y ll, se establece un resultado general que contiene como casosparticulares a las dos generalizaciones del Teorema T dadasen esos números. El n° 13 está dedicado a plantear problemas dualesde los antes considerados y a estudiar algunas configuracionessobre las cuales no se pueden establecer resultados pordualidad. En los n° 14 y 15 se consideran elementos geométricos Hi(no necesariamente subespacios lineales) conteninidosen subespacios Shi. Bajo las hipótesis del Teorema T yla existencia de medida para el conjunto {Shi}, se demuestraque la familia {Shi, HiC Ski}tiene medida si, y sólo si, cada Hi tiene medida "dentro" de Ski. Finalmente, en el n° 16, se demuestra que si unconjunto H tiene medida en el espacio suma de sus puntos, lamedida no existe en un espacio de dimensión mayor.
Citación:
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Luccioni, Raúl E.. (1963). Geometría integral en espacios proyectivos. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1145_Luccioni
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Luccioni, Raúl E.. "Geometría integral en espacios proyectivos". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 1963.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1145_Luccioni
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