Resumen:
Es un hecho bien conocido por los topólogos que las únicas esferas Sn cuyo fibrado tangente ζᵔ es trivial, son aquellas en que n= 1, 3 ó 7. Ahora, la trivialidad del fibrado tangente es equivalente a la existencia de n funciones continuas sj:Sᵔ→Eᵔ+¹ (1«j«n) -donde Eᵔ+¹ es el espacio euclídeo usual de las (n+1)uplas- tales que: a) Para cada xϵSᵔ, sj (x) es ortogonal a x. b) Si i≠j, si(x) y sj(x) son ortogonales. c) Para cada xϵSᵔ, sj (x) es un vector de norma 1. (O sea, para cada xϵSᵔ el conjunto x,s1(x),....,sn(x) es una base ortonormal de Eᵔ+¹). En los casos indicados, dichas aplicaciones se construyen usando las estructuras de las "álgebras de división" reales: complejos, cuaterniones, octoniones (cf[12]) y resultan tener la siguiente propiedad adicional: d) Cada sj es la resticción a Sn de un automorfismo (lineal) de Eᵔ+¹. Como ζᵔ sólo es trivial en estos casos, resulta claro que: existen aplicaciones continuas sj:Sᵔ→Eᵔ+¹ verificando a)b)c) si y sólo si existen automorfismos de Eᵔ+¹ verificando a)b)c). El objeto de este trabajo es estudiar la situación análoga en el caso algebraico, vale decir reemplazar la esfera topológica Sᵔ por la variedad algebraica definida por la ecuación ΣXj²=1 y el fibrado ζᵔ por el fibrado tangente algebraico. Más sofisticadamente Sᵔ se interpreta como el esquema afín Spec(R), con R=k[x1,..,x(n+1)]/(ΣXᵢ²-1) y en vez de ζᵔ se considera el módulo proyectivo asociado M formado por las k-derivaciones de R. Como las k-derivaciones se identifican a las secciones del fibrado tangente, se trata de determinar cuándo M es un R-módulo libre. Pero ahora este resultado depende esencialmente del cuerpo de base k: si iϵk (vale decir si la ecuación x²+y²=0 tiene soluciones no triviales en k), M es siempre libre (teorema 3.7). Por lo tanto el fibrado vectorial ζᵔxk(i) es siempre trivial; esto corresponde exactamente en el caso topológico al hecho conocido que la "complejificación" de ζᵔ es trivial. En cambio, si iɇk la situación es bien distinta y los n posibles son los que corresponden al caso topológico. La idea básica es observar que las secciones sj vienen dadas en este caso por polinomios en las variables X1,...,Xn+1 y que mediante convenientes modificaciones se puede suponer que el grado de éstos es uno; vale decir, se está en el caso a)b)c)d) de antes. En esta situación, no es difícil obtener los valores indicados de n, ya que es fácil ver que los automorfismos sj(1
Citación:
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Larotonda, Angel Rafael. (1968). Trivialidad del fibrado tangente a la n-esfera algebraica. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1329_Larotonda
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Larotonda, Angel Rafael. "Trivialidad del fibrado tangente a la n-esfera algebraica". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 1968.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1329_Larotonda
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