Studies of multiple scattering in low-dimensional systems

Abstract

In dieser Arbeit werden drei Modelle in Zusammenhang mit zeitunabhängiger sowie zeitabhängiger Streuung an mehreren Objekten analytisch und numerisch diskutiert. Das erste System ist ein zweidimensionales System, welches aus elliptischen nicht überlappenden Zylindern besteht, die in ein homogenes Medium eingebettet sind. Für die numerische Lösung des Vielfachstreuungsproblemes war es nötig, die Eigenfunktionen der Helmholtz Gleichung in einem elliptischen Koordinatensystem neu zu implementieren. Diese sind auch als Mathieu Funktionen bekannt. Im folgenden wurde dann aus einer Überlagerung von zeitunabhängigen Lösungen mit einem geeigneten Gewichtsfaktor eine zeitabhängige Version des Streuproblems erhalten. Das zweite System besteht aus zweidimensionalen Dirichlet-Streuern, diesmal von beliebiger Form, die sich in einem durch Dirichlet-Randbedingungen gegebenen Wellenleiter befinden. In diesem Modell können größere Anordnungen von Streuern betrachtet werden, insbesonders dann, wenn sie regelmäßig wiederkehren, da freie Lösungen an verschiedenen Querschnitten des Wellenleiters immer mittels der sogenannten Transfermatrix miteinander in Beziehung gebracht werden können. Um Lokalisierungseffekte besser zu verstehen, wurde ein Dirac-Kamm untersucht, bei dem nur endlich viele Potenziale ungleich Null sind. Dieses Modell kann als einfaches Modell für einen unvollkommenen eindimensionalen Kristall gesehen werden. Wenn die Potenzialverteilung symmetrisch ist, so können lokalisierte Zustände sowohl analytisch wie auch numerisch gefunden werden. Das neue an diesem Zugang ist, dass analytisch der Zusammenhang zwischen Transmissionskoeffizient und einem in dieser Arbeit definierten Lokalisierungsmaß hergeleitet wurde. Des weiteren wurde in einer zeitabhängigen Rechnung ein Wellenpaket simuliert, welches ausserhalb des endlichen "Kristalles" startet, in diesen eindringt, zum Teil reflektiert oder transmittiert wird, zum anderen Teil aber relativ lange im Kristall eingeschlossen bleibt, bevor es langsam wieder herausfliesst.

In this thesis three models related to time-independent and time-dependent scattering at several obstacles are discussed both analytically and numerically. The first system is a two-dimensional one which consists of elliptical, non-overlapping cylinders embedded in a homogeneous medium. For the numerical multiple-scattering code it was necessary to re-implement the Eigenfunctions of the Helmholtz equation in an elliptic coordinate system. These special functions are also known as Mathieu functions. In the sequel time-dependent solutions of the scattering process were obtained by superposition of time-independent solutions with appropriate weight factors. The second system studied consists of Dirichlet scatterers of arbitrary shape which are placed in a waveguide given by Dirichlet boundary conditions. In this model, one can study more extended structures of scatterers, in particular regular arrays, because free solutions at different cross sections in the waveguide can be related with the transfer matrix technique. In order to get more insight into localisation effects in two and three dimensions, a Dirac comb in one dimension with only a finite number of non-zero potentials was analysed as a third model. If the potential distribution is symmetrical, localised states can be found analytically and numerically. An interesting result is the fact that maxima of the transmission and localisation (in a measure defined in this work) are related to each other. As welin a time-dependent simulation, a wave packet starting from outside of this finite "crystal" was partially kept enclosed in the crystal for a relatively long time.