Book/Report

FZJ-2017-02744

http://join2-wiki.gsi.de/foswiki/pub/Main/Artwork/join2_logo100x88.png Berechnungsgrundlagen zur Fehlerstatistik in der Kernstrahlungsmeßtechnik 1

Weise, L. (Corresponding author)FZJ*

1964
Kernforschungsanlage Jülich, Verlag Jülich

Please use a persistent id in citations: http://hdl.handle.net/2128/14149

Report No.: Juel-0231-RX

Abstract: Der Kernzerfall erfolgt nach den Gesetzen der Statistik. Man kann nicht mit Sicherheit sagen, wann ein Zerfallsereignis an einem Atom eintreten wird. Physikalisch bestimmt ist nur die Wahrscheinlichkeit, mit der das Zerfallsereignis innerhalb eines gewissen Zeitintervalles stattfindet. Diese Tatsache äußert sich darin, daß auch unter völlig gleichen äußeren Bedingungen die Anzahl der Zerfallsereignisse pro Zeiteinheit nicht konstant ist, sondern als Zufallsvariable (stochastische Variable) aufgefaßt werden muß. Es werde zunächst der allgemeine Fall betrachtet, daß ein radioaktives Präparat (enthaltend N Atome zum Zeitnullpunkt) Anfang einer Zerfallsreihe ist: Die Muttersubstanz A zerfalle zur Tochter B, diese zur Tochter C usw. Die Wahrscheinlichkeit p$_{nA, nB, nc}$ ... (t) dafür, daß zum späteren Zeitpunkt t gerade n$_{A}$ Atome vom Typ A, n$_{B}$ Atome vom Typ B, n$_{c}$ Atome vom Typ C usw. vorhanden sind, errechnet sich zu $p_{nA, nB, nC} ...(t) = \frac{N!}{n_{A}!n_{B}!n_{C}!...} p^{n_{A}}_{n_{A}}(t) \cdot p^{n_{B}}_{n_{B}}(t) \cdot p^{n_{C}}_{n_{C}}(t)$ (1.1) (multinomiale Verteilung), wobei $p_{n_{A}} (t),P_{n_{B}}(t),p_{n_{C}}(t)$ ... die Wahrscheinlichkeiten dafür darstellen, daß ein zum Zeitpunkt t zufällig herausgegriffenes Atom gerade von der Sorte A, B, C, ... ist. In dieser Arbeit wird nur der Fall betrachtet, daß lediglich ein Tochterprodukt B existiert. Über den in der Praxis weniger wichtigen Fall einer mehrgliedrigen Zerfallskette siehe z.B. [1]. Wir spezialisieren also (1.1) auf $P_{nA,nB}(t) = \frac{N!}{n_{A}! n_{A}!} p^{nA}_{nA} (t) \cdot p^{nB}_{nB} (t)$ (1.2) (binomiale Verteilung). Wegen $P_{nA} = e^{-\lambda t}$ mit $\lambda$ als Zerfallskonstante für den Zerfall von A nach B, $n_{A} + n_{B} = N$ und $P_{nA} (t) + p_{nB} (t) = 1$ folgt aus (1.2) die Wahrscheinlichkeit $P_{z}$ (t) dafür, daß bis zum Zeitpunkt t gerade z Atome zerfallen sind, zu $p_{z}(t)$ = $ \Big( ^{N} _{z}\Big) (1-e^{-\lambda t})^{z}e^{-\lambda t}(N-z)$ (1.3) N ist die Anzahl aller zum Zeitnullpunkt vorhandenen unzerfallenen Atome. Gilt $\lambda t \ll$ 1, d. h. ist die Zeit t klein gegen die Halbwertszeit $t_{1/2}$ - damit gleichbedeutend ist die Forderung $N \gg z$ -, so geht die binomiale Verteilung (1.3) in die Verteilung$p_{z}(t) = \frac{\mu^{z}}{z!}e^{-\mu}$ (1.4) (Poisson-Verteilung) über $(\mu = \sum^{\infty}_{z=0} zp_{z}(t), \mu$ Mittelwert von z). Gilt ferner $\mu \gg$ 1, d. h. ist der Mittelwert von z hinreichend groß, z. B. größer als 100, so kann man für Werte z, welche in genügender Nachbarschaft vom Mittelwert liegen, für welchegenauer die Bedingung $\vert z - \mu \vert \ll \mu$ erfüllt ist, die Poisson-Verteilung (1.4) durch die Verteilung $p_{z}(t) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi \mu}}e^{- \frac{(z-\mu)^{2}}{2\mu}}$ (1.5) (Gaußsche Normalverteilung) ersetzen.

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Contributing Institute(s):

1. Publikationen vor 2000 (PRE-2000)

Research Program(s):

1. 899 - ohne Topic (POF3-899) (POF3-899)

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Database coverage:

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