A Study on Modeling Glucose–Insulin Dynamics

Abstract

이 논문에서는 우리는 인슐린 민감성 (SI ) 과 포도당 효율성 (SG) 을 잴 수 있는 주요한 글루코스–인슐린 역학 모델들을 소개하고 수학적인 분석을 통하여 그 모델들의 장단점을 살펴보았다. 그리고 효율적인 수치 알고리즘을 통해, 각 모델들에 대한 수치 해를 계한하였으며 그에 따른 변수민감도 분석도 진행하였다. 또한 인슐린 민감성을 측정하는 데 널리 쓰이고 있는 MINMOD Millennium모델에, 글루코스–인슐린의 유동성을 반영할 수 있는 α ∈ (0, 1]계 분수미분의 개념을 도입하여 적용하였다. 이와 같이 제안된 모델은 수학적 분석을 통해서 해가 음이 아닌 유한한 값을 가지며 안정평형한 점들을 가짐을 보였다. 그리고 정상인과 제2형 당뇨병환자들에 관한 데이터를 기반으로 가중 비선형 최소자승법, Levenberg–Marquardt 알고리즘, 그리고 분수의 Adams방법들을 이용하여 최적의 변수들을 추정하였다. 이러한 수치적 결과로부터 제2형 당뇨병환자에게서 SI가 정상인들에 비해 현격히 낮음을 확인 할 수 있었다. 또한 당내성을 결정하는 새로운 인자 (τ 1−α)의 확인과 그와 관련된 SI의 관계를 밝혀냈다.

In this thesis, we analyze some mathematical models for glucose–insulin dynamics and estimate two key indices: insulin sensitivity (SI ) and glucose effectiveness (SG).We address the advantages and disadvantages of each model from a mathematical perspective, and present an efficient estimation method for the relevant parameters and numerical algorithms to solve the glucose–insulin dynamics. A parameter sensitivity analysis is performed for each model, and numerical results are presented. In addition, we propose a new model for glucose–insulin dynamics. Among many models, MINMOD Millennium has been widely used to estimate SI in glucose–insulin dynamics. In order to explain the rheological behavior of glucose–insulin we attempt to modify MINMOD Millennium with fractional–order differentiation of order α ∈ (0, 1]. We show that the new modified model has non–negative, bounded solutions and stable equilibrium points. Optimal fractional orders and parameters are estimated by using the nonlinear weighted least-squares method, the Levenberg–Marquardt algorithm, and the fractional Adams method for several subjects (normal subjects and type 2 diabetic patients). The numerical results confirm that SI is significantly lower in diabetics than in non–diabetics. Moreover, we find the new factor (τ 1−α) determining glucose tolerance and the relation between SI and τ 1−α.