드 모르간의 수학교육을 통해 본 영국 순수 수학 발전의 이해: 학문 분야 간 경계 문제를 중심으로

Abstract

19세기 초까지도 수학의 경계는 순수 수학과 혼성 수학을 포함하여 매우 폭 넓었으며, 혼성 수학을 중심으로 수학과 자연 철학 사이의 경계는 상당히 모호하였다. 그러나 19세기 중․후반을 거치면서 그 이전에 혼성 수학 및 자연 철학 분야들을 공부하기 위한 일종의 선수 분야로 간주되던 순수 수학 분야들이 독자적인 전문 학문 분야로 성장해 나가기 시작했다. 그리고 20세기에 이르면, 19세기 초의 순수 수학 분야들이 수학의 주축을 이루면서 수학과 물리 과학 사이의 경계는 보다 분명해져 갔다. 이 논문은 바로 그러한 순수 수학의 발전 과정을 이해하기 위해 19세기 런던 유니버시티칼리지(UCL)의 초대 수학 교수였던 어거스터스 드 모르간의 수학 교육과 연구에 주목한다. 그리고 이를 위해 먼저 드 모르간의 수학 교과 과정을 살펴본다. 당시 대부분의 고등 교육 기관의 수학 교과 과정과 비교할 때, 드 모르간의 수학 교과 과정은 순수 수학 분야들만으로 구성되었다는 점에서 아주 특이했다. 이 논문은 바로 그 점에 의문을 제기하며, 그의 수학 교과 과정이 어떻게 형성되었는지를 추적한다. 그리고 드 모르간의 학문적 관심 및 능력과 UCL의 교육 의도로는 드 모르간의 수학 교과 과정의 배경을 제대로 설명하지 못할 때, UCL의 교수 급료 체계와 학생들의 교육 수준, 그리고 UCL에서 수학과 자연철학이 처했던 상황들에 관심을 기울인다. UCL에서는 기존의 대학들과는 달리, 교수들의 급료가 학생들의 수강료에 비례해 책정되었다. 이런 가운데 비교적 이른 시기에 초대 자연철학 및 천문학 교수로 임용되었던 라드너는 UCL 위원회의 신임을 바탕으로 혼성 수학 분야들을 선점하며 교과 과정을 폭넓게 구성하였다. 이런 상황에서 이후 뒤늦게 젊은 드 모르간이 수학 교수로 임용되었을 때, 그의 분야는 자연스럽게 순수 수학 분야로 축소되었다. 이는 비슷한 맥락에 있었던 런던 킹스칼리지(KCL)의 사례를 통해서도 잘 지지된다. 킹스칼리지의 초대 수학 교수였던 토머스 홀이 칼리지 측의 신뢰를 얻으면서 폭 넓은 수학 교과 과정을 선점하였을 때, 뒤 늦게 자연 철학 및 실험 철학, 그리고 천문학 교수로 임용되었던 헨리 모즐리의 교과 과정은 축소될 수밖에 없었다. 결국 이 연구는 학문 분과의 경계나 교과 과정이 당시 일반적으로 통용되던 학문적 경계에 따라 항상 자동적으로 결정되었던 것은 아니었음을 보여준다. 즉, 드 모르간의 사례는 교육과정이 인적․제도적 요소나 인접 분야와의 관계 속에서 우연적으로 결정될 수도 있음을 보여주는 것이다. 그런 다음 이 논문은 드 모르간의 초기 수학 교과 과정이 어떻게 발전해갔는지를 조사하기 위해 라드너의 자연 철학 강의의 상황을 살펴본다. 당시의 다양한 UCL 자료들에서 드러나는 라드너에 관한 정보들은 그가 혼성 수학 분야들을 선점했음에도 불구하고 급료 문제로 인해 큰 어려움을 겪고 있었음을 보여준다. 19세기 초 실험적 방식에 대한 열광과는 반대로 어려운 수리적 방식에 대한 반감이 증가되고 있던 상황에서, 어려운 수리 자연철학에 대한 흥미나 학습 동기를 가질 수 없었던 UCL 학생들은 라드너의 강의를 제대로 수강하지 않았다. 이후 라드너가 수강생 문제를 해결하기 위해 대중 실험 강연들에 주력하였으나, 그것은 도리어 그의 수리 자연철학 정규 강좌의 상황을 더욱 악화시켰다. 이런 상황에서 순수 수학 분야의 강좌로 본인이 감당하기 힘든 수의 학생들을 확보하고 있었던 젊은 드 모르간이 학문적 선배이자 어려움을 겪고 있던 라드너에게 혼성 수학 분야들을 내달라고 요구하기는 힘들었다. 그런데 이러한 라드너의 실험적 자연 철학 강의와 드 모르간의 순수 수학 교육의 영향은 단순히 드 모르간의 수학 강의실에만 국한되었던 것은 아니었다. 중등 수학 교육의 수준이 열악했던 상황에서 순수 수학만을 가르쳐야했던 드 모르간은 이후 무엇보다도 학생들에게 순수 수학 분야들을 제대로 가르치는 문제에 깊은 관심을 갖게 되었다. 그리고 그것은 자연스럽게 UCL에서 수학 교육의 의의를 찾는 문제와 논리 사고력을 훈련시키는 문제로 연결되었다. 이후 기하학과 대수학을 둘러싼 우열 논쟁이나 휴얼과 해밀턴으로 대표되는 수학자들과 논리학자들 간의 논쟁이 가열되었을 때, 드 모르간은 대수 기호의 의미나 기하학과 대수학의 문제, 그리고 논리 사고력 도야의 문제 등에 대해 새롭게 고민하기 시작했다. 이런 상황에서 UCL의 초대 논리학 교수였던 존 호퍼스의 논리 교육이 효과적으로 이루어지지 못했을 때, 드 모르간은 수학 수업을 통해 논리 사고력 훈련을 시작하였고, 형식 논리와 관계 논리라는 순수 수학의 새로운 연구 영역을 개척해 나갔다. 이후 그의 수학 교수좌는 순수 수학 교수좌로 규정되었고, 그의 제자들에 의해서는 순수 수학 분야가 중심이 된 전문 수학 학회가 최초로 창립되었다. 결국 수학의 또 다른 인접 분야인 논리학 분야와의 경계 조정을 통해 19세기 후반 영국에서는 순수 수학이 하나의 독자적인 전문 과학 분야로 발전해 나가고 있었다. 위의 논의를 통해 이 논문은 드 모르간의 제자들을 중심으로 이후 순수 수학 중심의 런던 수학회가 결성되었던 상황과 드 모르간이 위대한 수학 교사로 기억되는 이유, 그리고 드 모르간의 논리 연구가 발전되었던 계기 등에 대한 역사적 이해를 넓히는 데 기여한다. 그리고 그것은 결론적으로 19세기 수학 분과의 경계 변화를 통해 영국 순수 수학이 발전해 나갔던 한 단면을 보여준다. 19세기에 수학자들이 더 이상 홀로 연구자로만 남아 있을 수 없었던 상황에서, 해당 학자의 지적 여정과 수학 분야의 발전은 해당 학자가 속해 있었던 기관의 사회적·제도적 특징들, 수학을 둘러싼 당시의 다양한 견해들과 논쟁들, 그리고 수학과 그 인접 분야와의 미묘한 관계 속에서 특정한 방식으로 구성되고 발전해 나가는 모습을 보였다.

The boundary of mathematics including pure and mixed mathematics was very wide until early nineteenth century. But there were some gradual changes in the boundary during the nineteenth century. In the course, pure mathematics which was considered as the preparatory field for mixed mathematics or natural philosophy grew as the independent professional discipline through the mid and late nineteenth century. This dissertation traces the development of pure mathematics in England through the education and research by Augustus De Morgan(1806-1871) in University College, London (UCL). For such, this study examines De Morgan's mathematics curriculum and compares it with the other mathematics professors' curriculums of various institutions. And then this paper raises a question of why his curriculum was organized unusually with only pure mathematics. This study finds the answer in the wage system for professors, the educational backgrounds and interests of students, and the situation of mathematics and natural philosophy in UCL when De Morgan's mathematical interest and ability and UCL's intention could not explain about the construction of his curriculum. UCL Committee determined wages of UCL professors in proportion to the fees of students who were young and had a low-level of mathematical knowledge. In this situation, Dionysius Lardner(1793-1859), the first 'Natural Philosophy and Astronomy' professor, preoccupied the wide areas of mixed mathematics in his curriculum under the support of UCL committee before appointment of mathematics professor. Afterward, De Morgan's teaching areas were naturally decreased when the young De Morgan was appointed too late as mathematics professor in UCL. The case of King's College, London also supports the arguments about curriculum-making in UCL because the curriculum of Henry Moseley(1801-1872), the first natural philosophy professor, was reduced when Thomas G. Hall(1803-1845), the first mathematics professor, taught the wide areas of mathematics including mixed mathematics with King's College committee's support. As a result, this shows that boundaries and curriculums were not always constructed automatically by the generally accepted academic boundary. De Morgans case suggests that the curriculums can be constituted by the accidental, systematic, or adjacent area related factors. And then this dissertation examines whether mathematics curriculum could be changed in a relation with natural philosophy professor or not. The various materials about Lardner reveal that he had difficulty in maintaining a sufficient wage although he preoccupied the mixed mathematics parts. In the situation which experimental science enjoyed popularity and difficult mathematics roused antipathy in the nineteenth century, UCL students didn't attend mathematical natural philosophy classes by Lardner. After that, Lardner began to prepare and concentrate on the popular experimental lectures, but it made UCL students regard mathematical science as more difficult and unnecessary. Contrary to this, De Morgan felt very tired teaching classes with overflowing students. Then he had no choice but to adjust his curriculum not to overlap Lardner's mixed mathematics fields. The effects of Lardner's experimental natural philosophy and De Morgan's pure mathematics were not confined in De Morgan's classroom. On the negative condition of mathematics, he began to pay deep attention to the proper method for teaching mathematics to UCL students and to find the meaning and usefulness of mathematics education in UCL. These efforts led him to realize the importance of logical reasoning in learning mathematics. And arguments over the merits of geometrical and algebraic methods and dispute between William Whewell and William Hamilton made him reconsider about the meaning of algebraic symbols and the appropriate tool for logical training. When the first 'Logic and Philosophy of Mind' professor, John Hoppus(1789-1875) could not cultivate the logical ability of reasoning properly. De Morgan began to train his students to get the proper ability of logical reasoning. And his interest in the logical training and pure mathematics teaching led De Morgan to research a new area of pure mathematics like formal logic and relational logic. Later, he was remembered as Pure Mathematics professor by his students. And some of his students established the first professional society for mathematics, London Mathematics Society which was centered on pure mathematics. Then, the boundary between mathematics and logic came to be also changed slowly. As a result, this dissertation contributes on the historical understanding about why De Morgan's disciples thought London Mathematics Society was necessary, why the research of London Mathematics Society centered around pure mathematics, why De Morgan was remembered as the great mathematics teacher, and why and how De Morgans new logic was developed. In conclusion, these reveal some aspects of the development of pure mathematics in the nineteenth century England. Finally, this study suggests that for the better understanding of the intellectual activities by the certain mathematicians, it is necessary to examine the institutional and interdisciplinary contexts surrounding the mathematician besides mathematical matters.