교수인류학(ATD)에 기반한 이차방정식 활용 문제의 생태학적 분석 연구

Abstract

This study focuses on quadratic equation which can be seen as the beginning of algebraic development. The content of quadratic equation firstly is shown on the 9th grade textbook. More specifically, this study examines the lessons in which students solve real-life problems. The lessons were selected due to the expectation that the questioning the world is likely to happen most frequently in those lessons. This study examines how this subject is taught and learned in school. The ultimate aim of this study is to understand the didactic system for quadratic equation in Korean schools based on the perspective of Chevallard(1991)s ATD. This research was processed with two different point of views: analyzing the curriculum or knowledge on the textbook and the aspect of how quadratic equation is taught in school. It was examined how the national curriculum changed based on the curriculum documents. Thirteen government approved textbooks of 2009-revised version and abstract algebra textbooks of undergraduate level are also reviewed from the frame of praxeology. A case study of three different teacher was done as well so as to take a look at the knowledge that is dealt with during the class of using quadratic equation. The results of these research are as follows. Firstly, throughout the change in the national mathematics curriculum there was no significant change on the quadratic equation chapter, only with some trivial change such as the set theory that was included the curriculum but excluded later and the quadratic function that was covered to help explain its relationship with quadratic equation but removed from the curriculum. However, what the all curriculums have in common is that they make it the aim of teaching for students to solve problems with quadratic equations. Furthermore, as for the middle school curriculums, it turned out that all the revision explicitly make it a rule to cover only real root situation. Secondly, the result of praxeology analysis of the textbook on the solving of quadratic equations could highlight the practical aspects of task and technique, but the theoretical aspects of technology or theory were rarely found. Most of the technology in middle school is a definition of scholarly knowledge. The reason is that the units are located in a primary level in the transition from arithmetic to algebra. This is a restriction in revealing theoretical aspects of scholarly knowledge. Moreover, since most of the types of tasks related to solving are procedural, only practical aspects in finding solutions could be revealed. Looking at the theory in the textbook content area, the concept and solving of the quadratic equation are based on the theory of ring and field, while the word problem of the quadratic equation is based on the theory of the Polya's problem solving. However, if we look at the word problem of quadratic equations from a content perspective, the theory does not separate from other areas. It may seem dichotomous to describe the solving and word problem separately as it is now. Thirdly, explaining the steps to solve word problems in the application chapter, all the three teachers, in the last step, were seen emphasizing only what they thought was essential for the students such as choosing which one is the proper solution out of the two, without any of verification process. Furthermore, they taught paying great attention to the steps based upon their judgment that understanding and confirming is more important than the equation solving. Fourthly, in word problem of quadratic equations, students tended to rely on the way that they were used to so as to approach problems. In the educational circumstance where applying equation problems is dealt with, the students figured out the solution as univariating quadratic equation as shown on the textbook. However there were some incidents when they used two variables. Most of these bivariate cases occurred when the problems asked them to focus on the relationship between two values or simply to find two values. The linear equations system they learned one year earlier is presumably to have affected them and they, in turn, attempted to establish bivariate quadratic equations for given problems. Yet, they seemed to have difficulty in solving the problem that had a certain unknown, such as the height problem that doesnt require establishing a variable; it is already explicitly given in the problem. The fact that they hadnt dealt with this type of task and that the scientific material was about uniformly accelerated motion made them unfamiliar with uniform motion problems. In word problem of quadratic equations, students tend to go back to the way they were used to and approach problems.

As a result of the research, the following implications were derived. Firstly, there is a different theoretical aspect between the theory on the knowledge out of classroom and that on the knowledge in classroom: the former becomes a scientific theory of scholarly mathematics while the latter is about the rationale of the semantic question about why that way is used and what the concept means, which might seem awkward to mathematicians and those who take the perspective of a scientific theory. This study is based on classroom situations, which can be said to have make the difference in theoretical aspect arise. Hence, it seems difficult to expect an agreement between the theoretical aspects of praxeology of knowledge being taught and knowledge to be taught; because teacher have to teach in various environmental conditions they have observed that affect their learning. This suggests that teachers guidebooks and curriculum reference books present the meanings and values teachers need to demonstrate as well as the theoretical aspects about the scientific theories. Secondly, the relationship between the knowledge taught and learned is interactive rather than unilateral since some unexpected reaction from students forced teachers to modify the originally intended knowledge to teach. However, the knowledge taught is transformed from the knowledge to be taught in the curriculum or textbook, not vice versa. This results from the top-down manner that textbook authors have to draft the book following the national curriculum. In other words, although the authors involve in-service teachers, their field experiences or any changes other than those explicitly required by the curriculum revision rarely make their way into textbook because of the strict guidelines from the government and the publisher. Therefore when revising the curriculum or drafting the textbook, if the opinions of school teachers are widely gathered and considered seriously enough to show why math ought to be taught, the direction of the didactic transposition between the knowledge to be taught and the taught knowledge may also become bidirectional instead of unidirectional. Thirdly, in the cases of this study, both the teachers and the students are in the middle of transition toward the paradigm of questioning the world. All the three teachers set an atmosphere that enabled the students to use various strategies. In response, the students were able to do self-inquiry and form their own ways, rather than copying the knowledge either the teacher or the textbook presented to them. However, it has been verified that the tasks covered during the lessons are deteriorating back to the visiting monuments paradigm; the tasks in applied word problem chapter do not seem to reflect the Q in the didactic system based on the questioning the world paradigm. Though the applied word problems themselves facilitate the questioning the world paradigm, it still remain unanswered whether the tasks that are artificially designed for educational purposes are appropriate, what the tasks are, and what educational benefits the tasks can bring. Therefore in order to advance toward the questioning the world paradigm, those who are involved in developing the curriculum and textbooks need to seriously thought about this issue.

이 연구는 대수 발달의 시발점이라 볼 수 있는 이차방정식에 초점을 맞추었다. 학교 수학에서 가장 처음으로 접하는 중학교 3학년 이차방정식 내용 중에서도 세상으로 질문하기패러다임의 변화에 상응하는 것으로서 활용 문제가 적합하다고 생각되어 이를 학교에서 어떻게 가르치고 학습하는지 살펴보고자 하였다. 이 논문의 가장 궁극적인 목적은 Chevallard(1991)의 ATD관점에 따라 학교수학에서 이차방정식에 대한 교수학적 시스템(didactic system)의 이해를 도모하는 것이다. 이에 교육과정이나 교과서에 제시된 가르칠 지식에 대한 프락시올로지 관점에 대한 분석과 학교에서 이차방정식을 가르치는 생태에 관한 2가지 관점으로 연구를 진행하였다. 교육과정은 제1차 교육과정부터 2015개정 교육과정의 교육과정 문서를 통해 변화를 살펴보았으며, 2009개정 교육과정으로 인정된 총 13종의 중학교 교과서와 임의로 선택된 추상대수학 8종의 대학교 교재로부터 프락시올로지 관점으로 분석을 하였다. 또한, 이차방정식 활용 수업 중에 나타난 가르치는 지식의 생태를 살펴보기 위해 중학교 교사 3명의 사례 연구를 진행하였다. 이와 같은 연구를 통해 도출된 결과는 다음과 같다. 첫째, 교육과정이 변화하는 동안 중학교 3학년에서 이차방정식 단원은 집합의 개념이 추가되었다가 삭제되거나, 이차함수 단원에서 이차방정식의 관계를 다루다가 삭제되는 등의 변화가 있었을 뿐, 큰 틀의 변화는 없었다. 모든 교육과정에서 공통적으로 문제해결을 지도 목표로 강조하고 있었으며, 지도상의 유의점으로는 실수 범위에서만 해를 다루도록 하고 있었다. 둘째, 2009개정 교육과정에 따른 교과서에 제시된 이차방정식 단원에 대한 프락시올로지 분석 결과, 대수적 조작에 대한 테크닉은 강조되었으나 왜 그와 같은 조작을 하는 지에 대한 이론적인 부분은 거의 드러나지 않았다. 이는 중학교 방정식 단원이 산술에서 대수로 가는 과도기 단계의 초등적인 위치에 있기 때문에 학문적 지식의 이론적 측면을 드러내는 데에 한계가 있기 때문이다. 또한, 과제의 유형이 대부분 절차적으로 이차방정식을 푸는 형태이기 때문에 근을 구하는 방법에 대한 테크닉으로 접근하는 실천적인 측면밖에 드러나지 않는 것이다. 교과서 내용 영역에서의 이론을 살펴보면, 이차방정식의 뜻과 해, 풀이는 내용적 지식인 환과 체를 이론으로 한 반면, 이차방정식의 활용은 절차적 지식인 Polya의 문제 해결을 이론으로 하고 있다. 그러나 이차방정식 활용을 내용적인 측면으로 살펴보면 그 이론은 환, 체가 되어 다른 영역과 분리되지 않음에도 불구하고, 현재와 같이 풀이와 활용을 구분하여 서술하면 이분법적인 것으로 보일 수 있다. 셋째, 이차방정식 활용단원을 가르칠 때, 세 교사 모두확인하기단계에서 검산의 과정은 가르치지 않고, 문제의 뜻에 맞는 답을 선택하는 것으로 한정하여 학생들에게 꼭 필요하다고 생각되는 것만 가르치고 있었다. 또한, 활용 문제 푸는 4단계 중에 방정식 풀이 보다는 문제 이해와 확인하기 단계가 가장 중요하다고 여기는 교사의 가치 판단에 따라 단계에 경중을 부여하여 가르치고 있었다. 넷째, 이차방정식 활용 문제를 다루는 교육시스템의 생태에서, 일반적으로 학생들은 교과서에 제시된 것처럼 미지수가 1개인 식을 세워서 풀었다. 그러나 두 값 사이의 관계를 나타내거나 구하고자 하는 값이 2개인 경우에는 미지수 2개를 사용하여 식을 세우는 경향을 보여주었다. 이는 중학교 2학년 때 학습했던 연립일차방정식 활용 과제 형태의 유사성에 대한 익숙함의 결과로 볼 수 있다. 그러나 높이에 관한 문제처럼 미지수가 정해진 과제를 접근하는 데는 어려움을 많이 보였다. 이는 학생들이 직접적으로 식이 주어져 있는 문제를 다루어 본 적이 없으며, 과학과 관련된 소재가 이전에 다루었던 등속도 운동이었던 것과 다르게 등가속도 운동을 다루고 있기 때문에 낯설게 느끼는 것으로 보인다. 이처럼 이차방정식 활용 단원에서 학생들이 식을 세울 때, 자신에게 익숙했던 방법으로 돌아가서 문제를 접근하려는 경향이 있음을 알 수 있었다. 연구의 결과로 다음과 같은 시사점이 도출되었다. 첫째, 학교 밖의 가르칠 지식에 대한 이론은 학문적으로 발전한 수학적 내용의 과학적 이론이 되는 반면, 학교 안에서 교사가 가르치는 지식에 대한 이론은 왜 그와 같은 방법을 쓰는지, 그러한 개념의 의미가 무엇인지에 대한 의미론적인 것으로서 이론적 측면의 양상이 서로 다르게 나타났다. 이 논문에서의 이론은 교실 상황을 보여주는 과정에서 나타난 것으로서, 제도마다 처한 환경적인 조건의 차이 때문에 서로 다른 이론의 양상이 발생했다고 볼 수 있다. 다시 말하면, 교사는 학생들을 가르치고, 그동안 학생들의 학습을 살펴본 수많은 환경적인 조건들로부터 가르쳐야 하는 이론이 있기 때문에 수업 중에 발생한 프락시올로지와 가르칠 지식에 대한 프락시올로지의 이론적 측면이 일치하기를 기대하기는 어려워 보인다. 따라서 학문적 지식을 가르칠 지식으로 변환시키는 교육과정 개발자, 교과서 집필자 등이 이론에 대하여 좀 더 넓은 관점을 받아들일 필요가 있다. 한 가지 방법으로, 교사용 지도서의 총론에 과학적 이론으로서의 이론적 배경만 제시할 것이 아니라, 수업 중에 교사가 보여주어야 하는 의미나 가치에 관한 이론적인 측면을 담아내는 것을 들 수 있다. 둘째, 수업 중에 교사의 가르친 지식과 학생의 학습한 지식 사이에는 일방적인 전달이 아니라 학생들의 예상치 못한 반응이 거꾸로 교사의 가르치는 지식을 변형시키도록 하는 교수학적 변환의 양방향적인 모습을 보여주었다. 그러나 교육과정과 교과서의 가르칠 지식과 교사의 가르친 지식 사이에는 역방향의 흐름을 찾아 볼 수는 없었다. 이는 국가수준의 교육과정을 먼저 정하고 그에 따라 교과서를 집필하도록 하는 하향식이 그 원인이 될 것이다. 따라서 교육과정을 개정하는 방식에 변화가 필요하다. 예를 들어, 교육과정 개편이나 교과서 집필 시에 현장교사들의 의견을 적극 수렴하여 왜 수학을 가르쳐야 하는 지에 대한 의미가 드러나도록 구성하고자 노력한다면 학교 밖과 안의 지식, 즉 가르칠 지식과 가르친 지식 사이의 교수학적 변환의 방향 또한 양방향으로 가능할 수 있을 것이다. 셋째, 이차방정식 활용 수업에서 교사와 학생들은세상으로 질문하기패러다임으로 가고 있는 과도기 단계에 있다고 볼 수 있다. 세 교사 모두 학생들이 다양한 전략을 사용할 수 있도록 탐구할 수 있는 환경을 만들어준 결과 학생들은 교사가 보여준 혹은 교과서에 제시된 지식을 그대로 답습하는 것이 아니라 스스로 탐구하고 찾아나가는 방식으로 자신만의 방법을 만들고 있었기 때문이다. 그러나 수업 중에 다루어진 교과서의 과제는 현재 지향하는 패러다임을 따라가지 못하고 다시 기념비 방문패러다임으로 돌아가도록 하고 있음을 확인해볼 수 있었다. 따라서 교과서의 활용단원의 과제가세상으로 질문하기패러다임에 있는 교수학적 시스템의 구성요소인 질문을 반영하고 있다고 보기는 힘들다. 활용 문제가세상으로 질문하기의 패러다임에 가깝게 할 수 있도록 해주지만, 교육적 목적에 의한 인공적인 것으로서 제시된 과제가 과연 적합한지, 무엇을 하기 위한 것인지 그것의 교육적 효과에 관해서는 의문이 남는다. 따라서세상으로 질문하기의 패러다임으로 가기 위해 교수학적 시스템의 변화가 요구된다. 이때, 교사와 학생의 노력뿐만 아니라 교과서에 제시되는 과제가 진정한 질문이 될 수 있도록 좀 더 많은 고민과 노력이 필요하다.