Συμβολή στη μελέτη των σχετικά καθετοποιημένων ευθειογενών επιφανειών του χώρου Ε3 και υπερεπιφανειών του χώρου Εn+1

Abstract

In this thesis we deal with ruled surfaces in the 3-dimensional Euclidean space E3 and hypersurfaces in the (n+1)-dimensional Euclidean space En+1 which are relatively normalized. Firstly we study relatively normalized hypersurfaces in the space En+1 via an arbitrary support function q. By using invariants of the relative geometry we obtain some new characterizations of ruled surfaces of the space E3 and of hyperquadrics with positive Gaussian curvature of En+1. We define the parallel normalizations of a given surface of the space En+1 and we study some of their properties. Furthermore, we consider a skew ruled surface Φ of the Euclidean space E3, which is relatively normalized. We find the form of the support function q, in case that the relative normalizations at each point P of Φ lie on the corresponding central plane (these relative normalizations and the relative images of Φ are called central) or on the corresponding polar plane (these relative normalizations and the relative images of Φ are called polar) or the relative image is a ruled surface too, whose generators are parallel to the corresponding generators of Φ (these relative normalizations and the relative images of Φ are called linear). We determine all ruled surfaces and their relative normalizations, so that the relative image at each point P of Φ is parallel to the Darboux vector of Φ, Φ is proper or improper sphere or the relative image of Φ degenerates into a curve. We further create a sequence of ruled surfaces {Ψν}, whose corresponding generators are parallel, in the following way: we normalize centrally the ruled surface Ψν-1, and we obtain the ruled surface Ψν, which is the central image of Ψν-1. Then, we study various properties of centrally, polarly and linearly normalized ruled surfaces. Finally, the generalized cenral normalizations of a ruled surface are defined and discussed.

Αντικείμενο της παρούσας Διατριβής είναι οι ευθειογενείς επιφάνειες του τριδιάστατου Ευκλείδειου χώρου E3 και οι υπερεπιφάνειες του (n+1)-διάστατου Ευκλείδειου χώρου En+1, οι οποίες είναι σχετικά καθετοποιημένες. Αρχικά μελετάμε σχετικά καθετοποιημένες υπερεπιφάνειες του χώρου En+1 μέσω τυχαίας συνάρτησης στήριξης q. Με τη βοήθεια σχετικογεωμετρικών αναλλοιώτων βρίσκουμε μερικούς νέους χαρακτηρισμούς των ευθειογενών επιφανειών του χώρου E3 και των ελλειπτικά καμπυλωμένων υπερεπιφανειών δεύτερης τάξης του χώρου En+1. Ορίζουμε τις παράλληλες καθετοποιήσεις μιας δοσμένης επιφάνειας του χώρου En+1 και μελετάμε ορισμένες ιδιότητές τους. Στη συνέχεια, θεωρούμε μια σχετικά καθετοποιημένη στρεβλή ευθειογενή επιφάνεια Φ του Ευκλείδειου χώρου E3. Βρίσκουμε τη μορφή της συνάρτησης στήριξης q έτσι, ώστε η σχετική κάθετος σε κάθε σημείο Ρ της Φ να κείται πάνω στο αντίστοιχο κεντρικό επίπεδο (οι σχετικές αυτές καθετοποιήσεις και οι σχετικές εικόνες της Φ ονομάζονται κεντρικές) ή στο αντίστοιχο πολικό επίπεδο (οι σχετικές αυτές καθετοποιήσεις και οι σχετικές εικόνες της Φ ονομάζονται πολικές) ή η σχετική εικόνα της Φ να είναι ευθειογενής επιφάνεια με γενέτειρες παράλληλες προς τις αντίστοιχες γενέτειρες της Φ (οι σχετικές αυτές καθετοποιήσεις και οι σχετικές εικόνες της Φ ονομάζονται γραμμικές). Επίσης, προσδιορίζουμε όλες τις ευθειογενείς επιφάνειες και τις σχετικές τους καθετοποιήσεις έτσι, ώστε οι σχετικές κάθετοι σε κάθε σημείο P της Φ να είναι παράλληλες στο διάνυσμα του Darboux της Φ, η Φ να είναι γνήσια ή μη γνήσια σχετική σφαίρα ή η σχετική εικόνα της Φ να εκφυλίζεται σε καμπύλη. Δημιουργούμε μία ακολουθία ευθειογενών επιφανειών {Ψν}, οι οποίες έχουν τις αντίστοιχες γενέτειρές τους παράλληλες, ως εξής: καθετοποιούμε κεντρικά την ευθειογενή επιφάνεια Ψν-1, οπότε λαμβάνουμε την ευθειογενή επιφάνεια Ψν, η οποία είναι η κεντρική εικόνα της Ψν-1. Στη συνέχεια, μελετάμε τις ιδιότητες των κεντρικά, πολικά και γραμμικά καθετοποιημένων ευθειογενών επιφανειών. Τέλος, ορίζουμε τις γενικευμένες κεντρικές καθετοποιήσεις μιας ευθειογενούς επιφάνειας και ερευνούμε ορισμένες ιδιότητές τους.