Stochastic analysis of structures made of composite materials

Abstract

Wind turbine rotor blades are large composite structures operating in a completely stochastic environment. Hence, the applied wind loads and further the developed stress resultants in the rotor blade airfoils are stochastic themselves. Moreover, stochastic behaviour is also exhibited by composite materials showing great scatter both in their fatigue and static mechanical properties. A rational way to quantify the variability in the basic variables and take into account these uncertainties in the final design of the structure is provided by probabilistic methods.Therefore, in the present thesis, a probabilistic methodology was proposed for the evaluation of the reliability level of a composite rotor blade under ultimate static loading at the ply level. Reliability calculations were performed both for the strength and the instability analysis. An integrated probabilistic tool was developed to carry out the necessary computations and prove valuable for the probabilistic design of the composite rotor blades.The task was multifold with several issues to be addressed. Firstly, uncertainty (physical, statistical and model) related to the basic variables (material, loads etc.) has to be quantified. Appropriate probabilistic models should be selected to represent the basic variables based on data measurements. Therefore, a number of tests for the mechanical characterization of the composite material as well as 10 min aero-elastic response simulations should be provided to start the reliability analysis procedure. In the frame of the UPWIND research project, a comprehensive experimental work was delivered for a Glass/Epoxy fiber reinforced plastic material. Many tests were performed and a database was created. The probabilistic models should quantify both physical and statistical uncertainties arisen to the material properties mainly due to the inhomogeneous nature of the fiber reinforced plastic material, the manufacturing process and the limited number of experimental tests. Statistical treatment of the measured material properties was thus performed following international reliability standards. Several probabilistic models were suggested. Correlation between the material properties was estimated based on the derived experimental data. Procedures for including statistical uncertainty to the final distribution models of the strength and stiffness properties were presented. General probabilistic models considering also model uncertainties related to the strength properties were proposed and for the first time quantified with respect to appropriate experimental data. As far as the loads were concerned, the 10 min long term extreme stress resultant distributions were estimated implementing load extrapolation techniques according to IEC 61400-1 ed.3 standard. The necessary load simulations were provided performing beam aero-elastic calculations for the 65m UPWIND reference rotor blade. Various peak methods were examined while several parametric distributions were fitted to the extracted maxima. Dependencies between the sectional stress resultants were estimated directly by the derived data. A convergence study directly on the long term exceedance probability of the extreme stress resultant was implemented to determine the necessary number of 10 min aero-elastic simulations. The statistical uncertainty due to the limited number of load simulations as well as a variety of model uncertainties related to the load evaluation by means of the aero-elastic code was further considered.Second step in the proposed methodology comprises the identification of the most important failure modes and their expression in terms of limit state functions. In the context of the ply level reliability approach, considered herein, various failure criteria were adopted. Depending on the formulation of the failure criterion, one or several failure functions corresponding to the different failure modes of the composite material were considered for every lamina in the structure. Taking into account that a typical laminate of a blade structure contains dozens of plies, a large number of state functions were thus accumulated.To efficiently deal with the problem at hand, convenient reliability methods should be selected and implemented. In the last step of the probabilistic methodology, an appropriate implementation of the response surface method combined with direct Monte Carlo simulation (RSM/MC) was proposed. That approach was validated implementing an extensive numerical experimentation program.The aforementioned methodology was implemented for two real rotor blade designs, namely a 30m Glass/Polyester and the 65m UPWIND reference rotor blade. Initially, calculations were performed for the first case study using a 3D shell finite element (FE) formulation in a commercial probabilistic code. An efficient procedure was introduced to define the stochastic character of the concentrated loads acting on the 3D FE model starting from load time series of sectional stress resultants from aero-elastic beam simulations. For the first time such a detailed model was analyzed and assessed in a probabilistic base. It should be highlighted that the finite element model of the rotor blade consisted of several thousands of layered shell elements, ca. 15,250, each with a stacking sequence composed of numerous plies. The analysis thus was performed for approximately 600,000 limit state functions. Reliability level was determined using the proposed RSM/MC method.The exhaustive reliability exercise of the detailed 3D shell finite element blade model indicated that the approach was very time consuming. The problem was persistent even with optimized reliability methods such as the response surface method. To circumvent the difficulty, an efficient probabilistic tool was developed based on thin wall multi-cellular Euler-Bernoulli beam theory and the finite strip method for the strength and buckling analysis respectively. The tool, PROBUST (Probabilistic ROtor Blade analysis in Ultimate STatic loading), was capable to perform consecutive reliability analyses at the ply level of the composite rotor blade structure. The probabilistic analyses were executed in very short time exhibiting a fair accuracy of the estimated failure probabilities.To demonstrate the efficiency of the developed tool, the impact of various probabilistic modelling assumptions directly on the β-index value of a rotor blade design was studied. The investigation concerned (i) the probabilistic model selection for the strength and stiffness properties (ii) the effect of considering correlation between the mechanical properties as well as (iii) the influence of the model uncertainties related to the material properties. The analysis was performed examining both rotor blade designs; the 30m Glass/Polyester and the 65m Glass/Epoxy UPWIND reference rotor blade.

Τα πτερύγια ανεμογεννητριών είναι μεγάλες κατασκευές από σύνθετα υλικά τα οποία λειτουργούν σε ένα τελείως στοχαστικό περιβάλλον. Εξαιτίας της τυχαιότητας της ταχύτητας του αέρα, τα φορτία που ασκούνται στο πτερύγιο και κατ’ επέκταση οι αναπτυσσόμενες εσωτερικές αντιδράσεις σε οποιαδήποτε διατομή κατά μήκος του πτερυγίου είναι στοχαστικά μεγέθη. Επιπλέον, στοχαστική συμπεριφορά παρατηρείται και στις μηχανικές ιδιότητες των συνθέτων υλικών. Η ποσοτικοποίηση της μεταβλητότητας που παρουσιάζουν οι βασικές μεταβλητές (φορτία, μηχανικές ιδιότητες υλικών κτλ) καθώς και η θεώρησή τους στον τελικό σχεδιασμό του πτερυγίου επιτυγχάνεται μοναχά με τη χρήση στατιστικών μεθοδολογιών.Για το σκοπό αυτό, στην παρούσα διατριβή αναπτύχθηκε στοχαστική μεθοδολογία για την αποτίμηση αξιοπιστίας πτερυγίων ανεμογεννητριών από σύνθετα υλικά, στο επίπεδο της στρώσης, υπό ακραία στατική φόρτιση. Οι υπολογισμοί αφορούν την ανάλυση της κατασκευής τόσο ως προς την αντοχή όσο και ως προς τον λυγισμό της. Παράλληλα πραγματώθηκε ολοκληρωμένο στατιστικό εργαλείο ικανό να φέρει εις πέρας όλους τους αναγκαίους υπολογισμούς και να φανεί χρήσιμο στο σχεδιασμό πτερυγίων με προκαθορισμένο επίπεδο αξιοπιστίας. Το θέμα ήταν πολύπλευρο ενώ αρκετά ήταν τα ζητήματα που έπρεπε να αντιμετωπιστούν. Αρχικώς, οι αβεβαιότητες (φυσική και στατιστική αβεβαιότητα καθώς και αβεβαιότητα μοντέλου) που σχετίζονται με τις βασικές παραμέτρους του πτερυγίου έπρεπε να υπολογισθούν. Κατάλληλα στοχαστικά μοντέλα έπρεπε να επιλεχθούν για να αναπαραστήσουν τις βασικές μεταβλητές (φορτία, υλικά) στηριζόμενα σε πειραματικά δεδομένα. Για το σκοπό αυτό, ένας αριθμός πειραμάτων για τον προσδιορισμό των μηχανικών ιδιοτήτων του συνθέτου υλικού καθώς και 10-λεπτες αεροελαστικές χρονοσειρές αποτέλεσαν τα δεδομένα εισόδου της στοχαστικής μεθοδολογίας. Στα πλαίσια του ερευνητικού προγράμματος UPWIND ένα εκτεταμένο πειραματικό πρόγραμμα διεξήχθη για το χαρακτηρισμό ενός Glass/Epoxy υλικού. Εκτελέστηκε ένας μεγάλος αριθμός πειραμάτων ενώ από αυτή τη διαδικασία προέκυψε μια καινούρια βάση δεδομένων μετρήσεων. Τα στοχαστικά μοντέλα των ιδιοτήτων του υλικού θα έπρεπε να αναπαριστούν τόσο τη φυσική όσο και τη στατιστική αβεβαιότητα η οποία προκύπτει από την ανομοιογένεια των συνθέτων υλικών (δυο φάσεις ίνα-μήτρα), τη διαδικασία κατασκευής των πολυστρώτων διατάξεων καθώς και τον περιορισμένο αριθμό πειραματικών μετρήσεων. Γι’ αυτό το σκοπό, πργματοποιήθηκε εκτεταμένη στατιστική επεξεργασία στις μετρούμενες μηχανικές ιδιότητες ακολουθώντας διεθνή πρότυπα και κανονισμούς. Ένας μεγάλος αριθμός στοχαστικών μοντέλων προτάθηκε ενώ εκτιμήθηκε και η συσχέτιση μεταξύ των ιδιοτήτων του υλικού από τα διαθέσιμα πειραματικά δεδομένα. Μεγάλο ζήτημα αποτέλεσε επίσης η ποσοτικοποιήση και ενσωμάτωση της στατιστικής αβεβαιότητας στα τελικά στοχαστικά μοντέλα των μηχανικών ιδιοτήτων. Το πρόβλημα αντιμετωπίστηκε υλοποιώντας δυο διαφορετικές προσσεγγίσεις. Για πρώτη φορά σε αυτή την εργασία, προτείνεται γενικό στατιστικό μοντέλο για τις ιδιότητες του υπό εξέταση συνθέτου υλικού ποσοτικοποιώντας επιπρόσθετα και τις σχετικές αβεβαιότητες μοντέλου. Όσον αφορά την ακραία στατική φόρτιση, η 10-λεπτη μακροπρόθεσμη κατανομή συμπληρωματικής πιθανότητας ακραίας φόρτισης δηλ. των εσωτερικών αντιδράσεων σε οποιαδήποτε διατομή κατά μήκος του πτερυγίου εκτιμάται υλοποιώντας την Load Extrapolation τεχνική εφαρμόζοντας τον κανονισμό IEC 61400-1 ed. 3. Οι απαραίτητοι αεροελαστικοί υπολογισμοί πραγματοποιήθηκαν από την ερευνητική ομάδα του καθηγητή κ. Βουτσινά ενώ η μελέτη αφορούσε το 65 m Glass/Epoxy πτερύγιο που αναπτύχθηκε στα πλαίσια του ερευνητικού προγράμματος UPWIND. Αρκετές μέθοδοι εξαγωγής μεγίστων εξετάστηκαν ενώ ένας μεγάλος αριθμός κατανομών προσαρμόστηκε στα διάφορα δείγματα των εξαγόμενων μεγίστων. Διερευνήθηκε η ύπαρξη συσχέτισης μεταξύ των αναπτυσσομένων εσωτερικών αντιδράσεων από τις διαθέσιμες χρονοσειρές. Παράλληλα υλοποιήθηκε μελέτη σύγκλισης της Load Extrapolation τεχνικής για τον καθορισμό του απαραίτητου αριθμού αεροελαστικών χρονοσειρών απευθείας στη παραγόμενη 10-λεπτη μακροπρόθεσμη κατανομή συμπληρωματικής πιθανότητας ακραίας φόρτισης. Στην τελική κατανομή της ακραίας φόρτισης λήφθηκε υπόψη τόσο η στατιστική αβεβαιότητα εξ’ αιτίας του περιορισμένου αριθμού διαθέσιμων αεροελαστικών χρονοσειρών όσο και αβεβαιότητες μοντέλου οι οποίες σχετίζονται με τον υπολογισμό των φορτίων από τον αεροελαστικό κώδικα.Δεύτερο βήμα της προτεινόμενης στοχαστικής μεθοδολογίας αποτέλεσε η αναγνώριση όλων των σημαντικών μηχανισμών αστοχίας της κατασκευής και η έκφρασή τους στη μορφή οριακών συναρτήσεων αστοχίας. Στα πλαίσια της ανάλυσης αξιοπιστίας κατασκευών στο επίπεδο της στρώσης, υιοθετήθηκε ένας μεγάλος αριθμός μακροσκοπικών κριτηρίων αστοχίας συνθέτων υλικών. Ανάλογα με τη μορφή του κριτηρίου αστοχίας, μία ή περισσότερες οριακές συναρτήσεις αστοχίας που αντιστοιχούσαν στους διαφορετικούς τρόπους αστοχίας της στρώσης (αστοχία ίνας ή μήτρας) θεωρήθηκαν στην στοχαστική ανάλυση της κατασκευής. Επιπρόσθετα, λαμβάνοντας υπόψη ότι μια τυπική πολύστρωτη διάταξη σε οποιαδήποτε διατομή του πτερυγίου περιλαμβάνει δεκάδες στρώσεις, ένας αρκετά μεγάλος αριθμός οριακών συναρτήσεων αστοχίας συσσωρεύτηκε.Για να αντιμετωπιστεί το ζήτημα, κατάλληλες μέθοδοι αξιοπιστίας έπρεπε να επιλεχθούν. Στο τελευταίο στάδιο της προτεινόμενης στοχαστικής μεθοδολογίας προτάθηκε μια κατάλληλη τροποποίηση της Response Surface Method (RSM) τεχνικής. Η προτεινόμενη RSM μεθοδολογία συνδυάστηκε με την crude Monte Carlo μέθοδο προσομοίωσης. Η συγκεκριμένη προσέγγιση πιστοποιήθηκε και ελέγχτηκε πραγματοποιώντας ένα εκτεταμένο αριθμό αριθμητικών αναλύσεων σε πολύστρωτες πλάκες.Η προτεινόμενη στοχαστική μεθοδολογία εφαρμόστηκε για την περίπτωση δυο πραγματικών πτερυγίων: ενός 30 m Glass/Polyester και του 65 m Glass/Epoxy (UPWIND) πτερυγίου. Η ανάλυση αρχικά πραγματοποιήθηκε σε γενικού σκοπού στοχαστικά εργαλεία κάνοντας χρήση τρισδιάστατου μοντέλου πτερυγίου πεπερασμένων στοιχείων. Σημειώνεται ότι ο υπολογισμός των φορτίων από αεροελαστικούς υπολογισμούς υλοποιείται πάντα στη βάση στοιχείων δοκού. Προτάθηκε επομένως διαδικασία για την στοχαστική αναπαράσταση των συγκεντρωμένων δυνάμεων που επιβάλλονται στο τρισδιάστατο μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων του πτερυγίου στηριζόμενη σε χρονοσειρές εσωτερικών αντιδράσεων στη διατομή όπως εξάγονται από αεροελαστικους υπολογισμούς. Για πρώτη φορά σε αυτή την εργασία, πραγματοποιήθηκε η στοχαστική ανάλυση ενός τόσο λεπτομερειακού μοντέλου πεπερασμένων στοιχείων. Πρέπει να σημειωθεί ότι το τρισδιάστατο μοντέλο του πτερυγίου περιελάμβανε περίπου 15,250 στοιχεία με δεκάδες στρώσεις σε κάθε στοιχείο. Η ανάλυση επομένως πραγματοποιήθηκε για περίπου 600,000 οριακές συναρτήσεις αστοχίας. Το επίπεδο αξιοπιστίας εκτιμήθηκε υλοποιώντας την προτεινόμενη RSM μεθοδολογία σε συνδυασμό με την crude Monte Carlo.Ωστόσο η παραπάνω προσέγγιση αποδείχτηκε αρκετά χρονοβόρα. Το πρόβλημα ήταν ιδιαίτερα έντονο ακόμα και με τη χρήση προηγμένων μεθόδων αξιοπιστίας όπως αυτή της RSM μεθόδου. Για το σκοπό αυτό αναπτύχθηκε υπολογιστικό εργαλείο (PROBUST) ικανό να εκτελεί ένα μεγάλο αριθμό επαναλήψεων της προαναφερθείσας μεθοδολογίας και να φανεί χρήσιμο στο σχεδιασμό πτερυγίων με προκαθορισμένο επίπεδο αξιοπιστίας. Στο νέο υπολογιστικό εργαλείο, η δομική ανάλυση του πτερυγίου βασίστηκε στην θεωρία δοκού Bernoulli επιτρέποντας την απευθείας εφαρμογή της φόρτισης όπως υπολογίζεται από τους αεροελαστικούς υπολογισμούς ενώ για την περίπτωση του λυγισμού υλοποιήθηκε η Finite strip μεθοδολογία. Εξαιτίας της απλότητας της προετοιμασίας των δεδομένων εισόδου και της ταχύτητας επίλυσης, το νέο εργαλείο έδωσε τη δυνατότητα για τη μελέτη διαφόρων στατιστικών υποθέσεων που αφορούσαν τη δομική αξιοπιστία του πτερυγίου εξετάζοντας απευθείας τον δείκτη αξιοπιστίας β της κατασκευής.