Homotopie rationnelle de l'espace des immersions entre variétés

In this thesis we study the rational homotopy type of the space of immersions of a differential manifold M of dimension m in a differential manifold of dimension n, with n>m>0. This space is denoted Imm(M,N). If M and N are simply connected and of finite type, we prove that when all the Pontryagin classes of N are zero then each connected component of Imm(M,N) has the rational homotopy type of one connected component of some mapping space.In the particular case when N=R^n, we prove that each connected component of Imm(M,R^n)has the rational homotopy type of the product of the Eilenberg-Mac Lane spaces. We give an explicit description of each connected component and we prove that it depends only on the codimension n-m and the Betti numbers of M. If n>2m and if the Euler characteristic of M is less or equal to -2, then the Betti numbers of a space of embeddings of M in R^n have exponential growth. When M is without boundary we obtain in certain case an explicit formulas of the series of the ranks of homotopy groups of the connected component of Imm(M,R^n).

(fre) Dans cette thèse nous étudions le type d'homotopie rationnelle de l'espace des immersions d'une variété différentiable M de dimension m dans une variété différentiable N de dimension n, avec n > m > 0. Cet espace est noté Imm(M,N). Si M et N sont simplement connexes et de type fini, nous montrons que lorsque les classes de Pontryagin de N sont nulles, chaque composante connexe de Imm(M, N) a le type d'homotopie rationnelle d'une composante connexe d'un certain espace fonctionnel. Dans le cas particulier où N = R^n, nous montrons que chaque composante connexe de Imm(M, R^n) a le type d'homotopie rationnelle d'un produit d'espaces d'Eilenberg-Mac Lane. Nous décrivons explicitement ce produit et montrons qu'il ne dépend que de la codimension n−m et des nombres de Betti rationnels de M. Nous en déduisons une formule explicite pour la série génératrice des rangs des groupes d'homotopie de chaque composante connexe de Imm(M, R^n) lorsque M est une variété fermée. Nous en déduisons aussi que si n > 2m et si la caractéristique d'Euler de M est plus petite ou égale à −2, alors les nombres de Betti de l'espace des plongements de M dans R^n sont à croissance exponentielle.