Dinámica topológica de espacios de grafos

Abstract

The aim of this work is to study some aspects of the topological dynamics of Gromov-Hausdoff spaces, which was first introduced by É. Ghys in [9]. To do so, we will need to generalize some concepts such as the notion of quasi-isometry (introduced by M. Gromov for graphs and metric spaces [12]) replaced by the notion of Kakutani equivalence, and also to adapt foliations on manifolds to more general topological spaces using laminations and spaces foliated by graphs. Most of these definitions are related with the same dynamical concept, pseudogroups of transformations, which will be deeply studied in chapters 2 and 3. This will be the central axis of our study. Furthermore, given a system of generators of the pseudogroup, we shall endow the orbits with graph structure (by an argument similar to the one we used to construct Cayley graphs) which will lead us to the notion of graphed pseudogroup.El propósito de este trabajo es estudiar algunos aspectos de la dinámica topológica del espacio de Gromov-Hausdoff, introducido por primera vez por É. Ghys en [9]. Para ello necesitaremos generalizar conceptos conocidos en el estudio topólogico de los grafos, como la noción de casi-isometría, introducida por M. Gromov en [12], adaptándola al contexto dinámico por medio de la noción de equivalencia de Kakutani, o flexibilizar las foliaciones usuales sobre variedades remplazándolas por laminaciones o espacios foliados por grafos. El concepto dinámico en el que se apoyan estas definiciones y que constituye el eje central de este estudio son los pseudogrupos de transformaciones, que se tratarán en profundidad en los capítulos 2 y 3. Además veremos que fijando un sistema de generadores del pseudogrupo y mediante un argumento similar al que se utiliza para construir los grafos de Cayley, las órbitas pueden dotarse de una estructura de grafo, dando lugar a lo que llamaremos pseudogrupos grafados.