Higher-order algorithms for modelling of physical fields

Abstract

Tato dizertace se zaměřuje na návrh algoritmů pro automaticky adaptivní hp-FEM pro účely řešení stacionárních i časově závislých parciálních diferenciálních rovnic (PDR) ve dvou prostorových rozměrech. Metoda hp-FEM je zdokonalená verze klasické metody konečných prvků, která využívá elementy různých poloměrů h a polynomiálních stupňů p k dosažení vynikající (exponenciální) rychlosti konvergence. Klade ovšem velké nároky na implementační stránku a přináší řadu otevřených problémů. V této práci shrnujeme základy hp-FEM ve 2D a poté popisujeme rozšíření standardního řešiče hp-FEM o podporu sítí s visícími uzly, která je předpokladem pro automatickou hp-adaptaci přibližného řešení. Náš původní algoritmus a datová struktura umožňují použití libovolně neregulárních sítí, jež mohou vést ke zmenšení diskrétního problému a ke zjednodušení algoritmu pro hp-adaptivitu. Popisujeme i praktické implementační detaily a příklady. Dále shrnujeme několik existujících strategií hp-adaptivity pro stacionární PDR, zejména existující algoritmus založený na tzv. referenčním řešení. Navrhujeme nový algoritmus, který je jednodušší a rychlejší, přičemž ale dosahuje lepších nebo srovnatelných výsledků, jak ukazujeme na dvou standardních testovacích problémech. Dalším tématem je řešení soustav PDR. Obhajujeme možnost použití různých sítí pro různé rovnice v soustavě a přinášíme původní algoritmus pro sestavení matice tuhosti takového systému (tzv. multi-mesh assembling). Cílem je úspora stupňů volnosti a příprava řešiče na dynamické sítě u časově závislých rovnic. Implementaci testujeme na modelovém příkladu z termoelasticity. Nový algoritmus pro multi-mesh assembling v závěru využíváme spolu s adaptivní Rotheho metodou k výpočtům na sítích, které se mohou měnit v čase, za účelem zrychlení řešení časově závislých problémů, které vykazují pohybující se úkazy v jejich řešení. Vyvíjíme algoritmus, který dokáže automaticky upravovat síť mezi jednotlivými časovými kroky a testujeme jej na dvou nelineárních modelových problémech z oblastí nestlačitelného proudění a fyziky hoření.