Αριθμητική Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων

Abstract

Το προτεινόμενο βιβλίο απευθύνεται σε προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές σχολών θετικών επιστημών και πολυτεχνικών. Ένα κύριο αντικείμενο διδασκαλίας στις παραπάνω σχολές είναι η κατανόηση διάφορων φυσικών φαινομένων μέσω της μαθηματικής μοντελοποιήσης τους. Η τελευταία γίνεται με τη διατύπωση τους ως προβλημάτων συνοριακών ή και αρχικών-συνοριακών τιμών, διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Για την λύση τους βασιζόμαστε στη χρήση Η/Υ και κατά επέκταση σε αριθμητικές μεθόδους για την προσέγγιση της ακριβούς λύσης τους. Τα προβλήματα διαφορικών εξισώσεων που θα θεωρήσουμε είναι: 1.) προβλήματα συνοριακών τιμών για διαφορικές εξισώσεις ελλειπτικού τύπου σε μια ή δύο χωρικές μεταβλητές. 2.) προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών για διαφορικές εξισώσεις παραβολικού τύπου ή υπερβολικού τύπου σε μια ή δύο χωρικές μεταβλητές. Για τα παραπάνω προβλήματα θα θεωρήσουμε διάφορες αριθμητικές μεθόδους οι οποίες θα είναι κατά κύριο λόγο 1.) μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών 2.) μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων. Θα δειχθούν θεωρητικά αποτελέσματα που αφορούν την ευστάθεια, συνέπεια και σύγκλιση των παραπάνω αριθμητικών μεθόδων. Επίσης θα υπάρξουν παραδείγματα εφαρμογής των διαφόρων μεθόδων που θα συμπληρωθούν με γραφικές παραστάσεις και πίνακες αποτελεσμάτων. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου θα υπάρχει σειρά ασκήσεων για την καλύτερη κατανόηση του αντίστοιχου κεφαλαίου. Μαθησιακοί στόχοι του βιβλίου είναι ο φοιτητής να μπορεί να προσδιορίζει, να εξηγεί, να εφαρμόζει και να αναπτύσσει στον Η/Υ αλγόριθμους για την κατασκευή μιας προσεγγιστικής λύσης μερικών διαφορικών προβλημάτων συνοριακών τιμών ή αρχικών και συνοριακών τιμών.

This book is addressed to undergraduate and graduate students of science and engineering schools. A main subject of teaching in these schools is the understanding of various physical phenomena through their mathematical modelling. The latter is done by formulating them as boundary or initial-boundary value problems for differential equations with partial derivatives. In most cases, we cannot find an exact solution explicitly, therefore we rely on the implementation of numerical methods on computers to construct approximations. Here, we consider boundary value problems for elliptic differential equations in one or two spatial variables and initial and boundary value problems for the heat equation, the wave equation and the transport equation in one or two spatial variables. For the numerical solution of the above problems, we consider finite difference methods and finite element methods. For the discretization in space, we employ either finite difference methods or finite element methods, and for the discretization in time we use various finite difference methods. We show various theoretical results concerning the stability, consistency and convergence of the above numerical methods. In addition, we present numerical examples supplemented by graphs and tables of results. At the end of each chapter there is a series of exercises for the prospective student to better understand the corresponding chapter.