Bu tezin amacı, klasik analizde verilen bazı özel fonksiyonların $q$-analoglarını tüm gerçel değerlere genişletmek ve bu fonksiyonların tanım kümeleri üzerinde geçerli olan özellikleri tüm gerçel değerlere taşımaktır. Bunun için Van der Corput tarafından geliştirilen neutrix ve neutrix limit kavramlarından yararlanılmıştır. Çalışma sekiz bölümünden oluşmaktadır. Giriş bölümünden sonra ikinci bölümde, quantum calculus ile ilgili tezin diğer bölümlerinde sıklıkla kullanılacak bilgilere ve üçüncü bölümde ise neutrix ve neutrix limit kavramları ile örneklerine yer verilmiştir. Dördüncü bölümden itibaren çalışmada elde edilen sonuçlar yer almaktadır. Dördüncü bölümde, klasik gama fonksiyonunun $q$-analoğu olan $q$-gama fonksiyonu $\Gamma_q(x)$ için tüm gerçel değerlerde sağlanan özellikler verilmektedir. Beşinci bölümde, $\gamma_q^{(n)}(\alpha,x)$ tam olmayan $q$-gama fonksiyonunun birinci mertebeden türeviyle beraber neutrix limit yardımıyla elde edilen sonuçlar bulunmaktadır. Altıncı bölümde, polygama fonksiyonunun $q$-genişlemesi $\psi_{q,n}(x)$, neutrix ve neutrix limit kavramlarından yararlanılarak tüm gerçel değerlere genişletilmiştir. Yedinci bölümde, $q$-beta fonksiyonunun normalde tanımlı olmadığı negatif tamsayılar ve sıfır değerlerinde neutrix limit ile elde edilen tanımından yararlanılarak bulunan bazı sonuçlar yer almaktadır. Sekizinci ve son bölümde sırasıyla $\Gamma_q(x)$ $q$-gama, $B(x,y)$ beta ve $B_q(X,y)$ $q$-beta fonksiyonları için eşitsizlikler elde edilmektedir.
The objective of this thesis is to extend $q$-analogues of special functions at classical analysis and generalize some properties on the domains of these functions for all real numbers. For this purpose, the concepts of neutrix and neutrix limit, which was developed by Van der Corput, have been used. This study consists of eight sections. In the second section after introduction , some definitions and properties which will be used frequently in the other sections about quantum calculus and then in the third section, definitions of neutrix and neutrix limit with their examples are given. From the forth section, the results obtained in this study is presented. In the forth section, the properties on $q$-gamma function $\Gamma_q(x)$ which is the $q$-analogue of classical gamma function are given. The fifth section consists of some results on incomplete $q$-gamma function and its first derivative obtained by using neutrix and neutrix limit. In the sixth section, $q$-analogue of polygamma function $\psi_{q,n}(x)$ is extended for all real numbers by the aid of neutrix and neutrix limit. In the seventh section, some results which are obtained by using neutrix limit of $q$-beta function at zero and negative integers for which this function is not definite actually are presented. In the eight and last section, some inequalities for $q$-gamma $\Gamma_q(x)$, beta $B(x,y)$, $q$-beta $B_q(x,y)$ functions are given respectively.
