The horseshoe theory in minimizing maximal distance

Abstract

Мы изучаем свойства множеств $\Sigma$, обладающих минимальной длиной (одномерной мерой Хаусдорфа) в классе замкнутых связных множеств $\Sigma \subset \mathbb{R}^2$, удовлетворяющих неравенству $$\max_{y \in M} \dist(y,\Sigma) \leq r$$ для заданного компактного множества $M \subset \mathbb{R}^2$ и для заданного числа $r > 0$. Такие множества можно воспринимать как водопроводы минимальной длины, подходящие на расстояние не более $r$ к каждой точке множества $M$, которое можно считать множеством потребителей воды.

В настоящей работе доказывается гипотеза Миранды, Паолини и Степанова, описывающая множество минимайзеров для частного случая, когда $M$ является окружностью радиуса $R>0$, удовлетворяющего условию $r < R/4.98$. Более того, мы показываем, что если $M$ является границей гладкого выпуклого множества с минимальным радиусом кривизны $R$, то любой минимайзер $\Sigma$ имеет схожую структуру при условии $r < R/5$. Кроме того, мы доказываем схожее утверждение для локальных минимайзеров.

We study the properties of sets $\Sigma$ having the minimal length (one-dimensional Hausdorff measure) over the class of closed connected sets $\Sigma \subset \mathbb{R}^2$ satisfying the inequality $\max_{y \in M} \dist(y,\Sigma) \leq r$ for a given compact set $M \subset \mathbb{R}^2$ and some given $r > 0$. Such sets can be considered shortest possible pipelines arriving at a distance at most $r$ to every point of $M$ which in this case is considered as the set of customers of the pipeline.

We prove the conjecture of Miranda, Paolini and Stepanov describing the set of minimizers for $M$ a circumference of radius $R>0$ for the case when $r < R/4.98$. Moreover we show that when $M$ is a boundary of a smooth convex set with minimal radius of curvature $R$, then every minimizer $\Sigma$ has similar structure for $r < R/5$. Additionaly we prove a similar statement for local minimizers.