Dualidade de Howe para algumas super álgebras de Lie

Abstract

Resumo: O objetivo deste trabalho é estudar a chamada Dualidade de Howe, que envolve ações comutantes para grupos de Lie clássicos e super álgebras de Lie. Essa teoria foi introduzida em 1976 por Roger Howe (1945-). Dado um super espaço vetorial U = U0 (produto tensorial) U1, Howe definiu a super álgebra A(U), dada por um quociente da álgebra tensorial T(U) pelas relações x (produto tensorial) u (produto tensorial) u (produto tensorial) x e w1 (produto tensorial) w2 + w2 (produto tensorial) w1, para x (produto tensorial) U0, w1, w2 (produto tensorial) U1 e u (produto tensorial) U. Ele considerou U como a representação natural de um grupo de Lie clássico G e A(U) como o G-módulo induzido. Howe também definiu operadores que agem em A(U), e geram a álgebra W(U), conhecida como álgebra de Weyl-Clifford. O foco deste trabalho é estudar a decomposição de A(U) em (G,W(U)G)-módulos. Pode-se identificar o conjunto de geradores de W(U)G com uma base para uma super álgebra de Lie g, explicitamente descrita dependendo de G e U. Em particular, W(U)G é um quociente da álgebra U(g) e (G, g) é chamado de par dual de Howe. Para finalizar, apresentaremos um caso particular da dualidade de Howe para o par dual de Howe (Ok(C), sl2).

Abstract: The goal of this work is to study the so-called Howe duality, which involves commuting actions for classical Lie groups and Lie superalgebras. This theory was introduced in 1976, by Roger Howe (1945- ). Given a vector superspace U = U0 (tensorial algebra) U1, Howe defined the superalgebra A(U), defined as a quotient from the tensorial algebra by the relations x (tensorial algebra) u (tensorial algebra) u (tensorial algebra) x and w1 (tensorial algebra) w2 + w2 (tensorial algebra) w1, for x (tensorial algebra) U0, w1, w2 (tensorial algebra) U1 and u (tensorial algebra) U. He regarded U as a natural representation for some classical Lie group G and considered A(U) as the induced G-module. Howe also defined a family of operators that act on A(U) and generate the algebra W(U), known as the Weyl-Clifford algebra. This work focuses on the study of the decomposition of A(U) in (G,W(U)G)-modules. One can also identify the set of generators of W(U)G with a basis for a Lie superalgebra g, explicitly described depending on G and U. In particular, W(U)G is a quotient of U(g) and (G, g) is called a Howe dual pair. To finish our work, we will present a particular case of Howe duality which we considered the Howe dual pair (Ok(C), sl2).